代码随想录算法训练营day32:动态规划01

动态规划理论基础

动态规划刷题大纲

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适用范围:

某一问题有很多重叠子问题,使用动态规划是最有效的。

所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的,这一点就区分于贪心,贪心没有状态推导,而是从局部直接选最优的。

套路:

dp数组,下标的含义——定义一维或者二维的状态转移数组

递推公式:当前状态是怎么被上一个状态决定出来的

dp数组如何初始化

遍历顺序

打印dp数组——来check算法是否正确

509. 斐波那契数

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斐波那契数,通常用 F(n) 表示,形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始,后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是: F(0) = 0,F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2),其中 n > 1 给你n ,请计算 F(n) 。

示例 1:

  • 输入:2
  • 输出:1
  • 解释:F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

分析:

1、确定dp数组以及下标的含义:dp[i]的定义为:第i个数的斐波那契数值是dp[i]

2、确定递推公式:状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

3、dp数组如何初始化

4、确定遍历顺序:从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出,dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2],那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

5、举例推导dp数组:按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2],我们来推导一下,当N为10的时候,dp数组应该是如下的数列:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

int fib(int n){
    if (n<=1) return n;
    int *dp=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));
    dp[0]=0;
    dp[1]=1;
    
    for (int i=2;i<=n;i++){
        dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];

    }
    return dp[n];

}

70. 爬楼梯

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假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

注意:给定 n 是一个正整数。

示例 1:

  • 输入: 2
  • 输出: 2
  • 解释: 有两种方法可以爬到楼顶。
    • 1 阶 + 1 阶
    • 2 阶

分析:

1、确定dp数组以及下标的含义:dp[i]的定义为:dp[i]: 爬到第i层楼梯,有dp[i]种方法

2、确定递推公式:

从dp[i]的定义可以看出,dp[i] 可以有两个方向推出来。

首先是dp[i - 1],上i-1层楼梯,有dp[i - 1]种方法,那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。

还有就是dp[i - 2],上i-2层楼梯,有dp[i - 2]种方法,那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。

那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和!

所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。

3、dp数组如何初始化:

不考虑dp[0]如何初始化,只初始化dp[1] = 1,dp[2] = 2,然后从i = 3开始递推,这样才符合dp[i]的定义。

4、确定遍历顺序:从前往后

5、举例推导dp数组

**注意:

要考虑n比较小的极限情况,防止赋值报错!!!

int climbStairs(int n) {
    if (n<=1) return n;//如果n比1小的话,后面赋值2会报错
    int *dp=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));
    dp[1]=1;
    dp[2]=2;
    for(int i=3;i<=n;i++){
        dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
    }
    return dp[n];
}

746. 使用最小花费爬楼梯

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旧题目描述

数组的每个下标作为一个阶梯,第 i 个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost[i](下标从 0 开始)。

每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值,一旦支付了相应的体力值,你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯。

请你找出达到楼层顶部的最低花费。在开始时,你可以选择从下标为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。

示例 1:

  • 输入:cost = [10, 15, 20]
  • 输出:15
  • 解释:最低花费是从 cost[1] 开始,然后走两步即可到阶梯顶,一共花费 15 。

分析:

1、数组:到第i组 花费的最小体力

2、递推公式:有两种方法,一个是在i-1层走1步==i-1层花费的体力+走这一步花费的体力

一个是在i-2层走两步

dp[i]=fmin(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])

 3、初始化:到达0和1层都不需要花费体力

4、顺序:从前往后

5、打印

int minCostClimbingStairs(int* cost, int costSize) {
    if(costSize<=1) return 0;
    int *dp=malloc(sizeof(int)*(costSize+1));
    dp[0]=0;
    dp[1]=0;
    for (int i=2;i<=costSize;i++){
        dp[i]=fmin(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);

    }
    return dp[costSize];
}

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