圈乘运算问题

题目描述

关于整数的2元圈乘运算 $\oplus$ 定义为 X $\oplus$ Y = 十进制整数 X 的各位数字之和 $\times$ 十进制整数 Y 的最大数字 + Y 的最小数字。例如，$9\oplus 30=9\times 3+0=27$。
对于给定的十进制整数 X 和 K，由 X 和 $\oplus$ 运算可以组成各种不同的表达式。试设计一个算法，计算出由 X 和 $\oplus$ 运算组成的值为 K 的表达式最少需用多少个 $\oplus$ 运算。

算法设计：给定十进制整数 X 和 K ($1\le X,K\le 10^{20}$) 。计算由 X
和 $\oplus$ 运算组成的值为 K 的表达式最少需用多少个 $\oplus$ 运算。

输入描述

每一行有两个十进制整数 X 和 K。
最后一行是 0 0。

输出描述

将找到的最少 $\oplus$ 运算个数输出，如果没有答案，输出No answer。

思路分析

首先我们定义 $cn{t}_x,su{m}_x,m{x}_x,m{i}_x，nu{m}_x$ 分别为 $x$ 的位数，各位数字之和，各位数字中的最大值，各位数字中的最小值,进行 $\oplus$ 运算能得到的最大值。
$part1:$
当 $cn{t}_x\ge 3$ 时，$X\oplus X\le X$ 恒成立。证明如下：
$\because m{x}_x,m{i}_x\le 9,x各位数字\le 9$
$\therefore su{m}_x\le cn{t}_x\times 9\times 9+9\to cn{t}_x\times 81+9$
$\because cn{t}_x\ge 3,m{i}_x\le 9$
$\therefore cn{t}_{su{m}_x}\le cn{t}_x$
$\therefore X\oplus X\le X$
反之，$X\oplus X\ge X$ 恒成立
$part2:$
由 $1$ 中结论我们可以很容易想到，每个数都有对应的 $\oplus$ 运算最大值。当结果 $k\ge nu{m}_x$时，这个 $k$ 一定不能通过 $x$ 的 $\oplus$ 运算得到。需要注意的是，$cn{t}_x\le 2$ 时，我们需要保证 $k=171$，因为一位和两位的数字在 $\oplus$ 运算可以不断变大。

因此我们定义 $f_i$ 表示 $\oplus$ 运算结果为 $i$ 时的最小 $\oplus$ 数。
那么对于每个 $<i,j,k>$ 数对若 $i=su{m}_j\ast m{x}_k+m{i}_k$，有转移方程如下：
$f_i=min(f_i,f_j+f_k+1)$。
当我们依次匹配且此时不会对任意 $f_i$ 改变时，结果不会继续改变，此时我们输出 $f_k$ 即为答案。

代码

#include 
using namespace std;

#define IOS ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;

struct node
{
    node() : mx(0), mi(9), s(0){};
    node(ull num) : mx(0), mi(9), s(0)
    {
        ull tmp = num;
        while (tmp)
        {
            ll t = tmp % 10;
            mx = max(mx, t);
            mi = min(mi, t);
            s += t;
            tmp /= 10;
        }
    };
    ll s, mx, mi;
};

void solve()
{
    ull m, k;//注意1e20超出了ll
    while (cin >> m >> k && (m || k))//多组输入
    {
        if (m == k)//对于m==k的特判
        {
            cout << "0\n";
            continue;
        }
        //求出最大结果
        ll n = (log10(m) + 1) * 81 + 9; // 1629
        //对于位数小于等于2的特判
        if (n < 2 * 81 + 9)
            n = 2 * 81 + 9; // 171
        if (k > n)
        {
            cout << "No answer\n";
            continue;
        }//当k大于最大结果时，无效
        vector<node> a(n + 10);
        vector<ll> f(n + 10, inf);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            a[i] = node(i);//构造1-n各位的元素
        a[0] = node(m);//将m放入位置0
        f[0] = 0;
        bool flag = true;
        while (flag)
        {
            flag = false;
            for (int i = 0; i <= n; i++)
            {
                if (f[i] == inf)
                    continue;
                //找到可选择的i
                for (int j = 0; j <= n; j++)
                {
                    if (f[j] == inf)
                        continue;
                    //找到可选择的j
                    ll k = a[i].s * a[j].mx + a[j].mi;
                    //i⊕j
                    if (f[k] > f[i] + f[j] + 1)
                    {
                        f[k] = f[i] + f[j] + 1;
                        flag = true;
                    }
                }
            }
        }
        if (f[k] == inf)
            cout << "No answer\n";//当结果仍为inf，说明k未被覆盖过，即无效
        else
            cout << f[k] << "\n";
    }
}

int main()
{
    int T = 1;
    // cin>>T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}

/*
oxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxox
x                                                                                      o
o       _/_/_/_/                                                              _/       x
x      _/                                                                              o
o     _/_/_/_/ _/  _/_/   _/_/   _/_/_/ _/_/   _/_/_/     _/_/    _/_/_/    _/ _/   _/ x
x    _/       _/_/     _/    _/ _/   _/   _/  _/    _/ _/    _/  _/    _/  _/   _/ _/  o
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xoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxo
*/