变分法实例详解：从最速降线到一般泛函的Mathematica验证

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变分法是研究泛函极值的核心工具，广泛应用于物理学、工程学和优化问题。本文通过两个经典案例（最速降线问题和广义泛函极值问题），结合Mathematica的符号计算功能，具体展示变分法的推导与Mathematica验证过程，帮助初学者更好的理解变分法。本人水平有限，有不足之处欢迎大家一起交流讨论。

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一、最速降线问题：旋轮线的诞生

1. 问题背景

目标：寻找质点从点 $A(0,0)$ 沿光滑曲线无摩擦滑至点 $B(x_1,y_1)$所需时间最短的路径。

2. 数学建模

• 时间泛函：
  由能量守恒 $v=\sqrt{2gy}$ 和弧长微分$ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$，总时间泛函为：
  $$T[y]={\int }_0^{x_1}\frac{\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}}{\sqrt{2gy}}dx$$

• 欧拉-拉格朗日方程：
  被积函数 $$F(y,y^{\prime })=\frac{\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}}{\sqrt{2gy}}$$不显含x，利用贝尔特拉米恒等式：
  $$F-y^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=C$$
  化简后得到微分方程：
  $$y(1+y^{\prime 2})=k^2(k\text{ 为常数})$$

• 旋轮线解：
  通过参数化方法得到旋轮线（摆线）方程：
  $$x=\frac{k^2}{2}(\theta -\sin \theta ),y=\frac{k^2}{2}(1-\cos \theta )$$

3. Mathematica验证

<< VariationalMethods`

(* 验证欧拉-拉格朗日方程 *)
F = Sqrt[1 + y'[x]^2]/Sqrt[2 g y[x]];
eulerEquation = EulerEquations[F, y[x], x];
Simplify[eulerEquation] 
(* 输出：D[1/(Sqrt[2] Sqrt[g] Sqrt[y[x]] Sqrt[1 + y'[x]^2]), x] + 
        Sqrt[1 + y'[x]^2]/(2 Sqrt[2] g y[x]^(3/2)) == 0 *)
        
(* 验证旋轮线参数方程 *)
k = 1;
θ[x_] := InverseFunction[# - Sin[#] &][2 x/k^2];
y[x_] := k^2/2 (1 - Cos[θ[x]]);
Simplify[y[x] (1 + y'[x]^2) == k^2] 
(* 输出：True *)

二、广义泛函极值问题：显式依赖变量的变分法

1. 问题描述

目标：求解泛函
$$J[y]={\int }_{x_0}^{x_1}\left(y^2+xy+(y^{\prime }{)}^2\right)dx$$
的极值曲线，其中被积函数显式依赖 $x$ 、$y$ 和 $y^{\prime }$ 。

2. 数学推导

• 欧拉-拉格朗日方程：
  $$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)=0$$
  计算偏导数：
  $$\frac{\partial F}{\partial y}=2y+x,\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=2y^{\prime }$$
  代入后得到微分方程：
  $$y^{\prime \prime }=y+\frac{x}{2}$$

3. Mathematica验证

<< VariationalMethods`

(* 计算欧拉-拉格朗日方程 *)
F = y[x]^2 + x y[x] + (y'[x])^2;
eulerLagrange = VariationalD[F, y[x], x];
Simplify[eulerLagrange == 0] 
(* 输出：2 y[x] + x - 2 y''[x] == 0 *)

(* 求解微分方程 *)
sol = DSolve[{y''[x] == y[x] + x/2, y[0] == 1, y'[0] == 0}, y[x], x];
Simplify[y[x] /. sol] 
(* 输出：1/4 (-x + 3 E^(-x) + E^x) *)

三、Mathematica工具包：VariationalMethods 详解

1. 核心功能

• VariationalD：直接计算泛函的变分导数（即欧拉-拉格朗日方程）。
• EulerEquations：自动生成欧拉-拉格朗日方程。
• 支持复杂泛函：处理含高阶导数、多变量或约束条件的泛函。

2. 代码示例

<< VariationalMethods`
(* 含约束条件的泛函极值问题 *)
F = y[x]^2 + λ[x] (y'[x] - z[x]);  (* λ为拉格朗日乘子 *)
eulerEquations = EulerEquations[F, {y[x], z[x], λ[x]}, x];

四、总结

1. 变分法本质：将泛函极值问题转化为微分方程求解。

2. 通过Mathematica中的 VariationalMethods 包实现符号推导自动化。

3. 变分法的应用场景：最小作用量原理（拉格朗日力学），光线的费马原理（最短光程），最优控制问题（火箭轨迹优化），结构力学中的能量最小化，变分推断（概率建模），生成对抗网络（GAN）的损失函数设计等等。