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python 求差分_用python实现简单的有限元方法（一）

华中师范大学 hahakity

有限元算法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种非常流行的求解偏微分方程的数值算法。有限元被广泛应用于结构受力分析、复杂边界的麦克斯韦方程求解以及热传导等问题。这一节介绍有限元方法的基本原理，以及如何用 Python 从头实现一个有限元算法，数值求解麦克斯韦方程。

学习内容

  1. 筑基：加权残差法 （Weighted Residual Method）
  2. 心法：有限元与有限差分算法的区别

加权残差法（Weighted Residual Method ）

理解了加权残差法，有限元算法就理解了一半。

这里参考文献【1】中例子，介绍加权残差法，为有限元算法筑基。

举例：求解

, 使其满足如下微分方程，

初始条件

,
求解区域
。

这个方程的解析解是

,

python 求差分_用python实现简单的有限元方法（一）_第1张图片

在计算机上展开到无穷阶，就能给出方程的精确解。现实中显然只能考虑有限项，后面忽略的项称作截断误差。假设截断到二阶，

python 求差分_用python实现简单的有限元方法（一）_第2张图片

代入原方程产生残差

，

越接近0，表示近似解越接近精确解。

明知道精确解

不在
这三个函数支撑起的函数空间中，我们仍可做出改进。

使用待定系数展开，

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