Nesterov加速梯度法 (NAG, Nesterov Accelerated Gradient) 算法详解及案例分析

Nesterov加速梯度法 (NAG, Nesterov Accelerated Gradient) 算法详解及案例分析

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1. 引言

Nesterov加速梯度法 (Nesterov Accelerated Gradient, NAG) 是一种改进的梯度下降算法，由 Yurii Nesterov 在 1983 年提出。NAG 通过引入“前瞻”机制，在梯度计算之前先对参数进行临时更新，从而加速收敛并减少震荡。NAG 在优化凸函数和非凸函数时都表现出色，广泛应用于机器学习和深度学习领域。

本文将详细介绍 NAG 的原理，并通过三个具体案例展示其在实际问题中的应用。每个案例将提供完整的 Python 实现代码、流程图以及优化曲线。

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2. Nesterov加速梯度法 (NAG) 算法原理

2.1 基本概念

NAG 的核心思想是在计算梯度之前，先对参数进行临时更新，然后基于临时更新的参数计算梯度。这种方法可以更准确地预测参数的更新方向，从而加速收敛。

2.2 算法步骤

1. 初始化：随机初始化参数 $\theta$ 和动量项 $v$。
2. 临时更新：计算临时参数 ${\theta }_{\text{temp}}$：
   $${\theta }_{\text{temp}}={\theta }_t-\gamma v_t$$
   其中，$\gamma$ 是动量系数。
3. 计算梯度：在临时参数 ${\theta }_{\text{temp}}$ 处计算梯度 $\nabla J({\theta }_{\text{temp}})$。
4. 更新动量项：更新动量项 $v$：
   $$v_{t+1}=\gamma v_t+\eta \nabla J({\theta }_{\text{temp}})$$
5. 更新参数：更新参数 $\theta$：
   $${\theta }_{t+1}={\theta }_t-v_{t+1}$$
6. 迭代：重复步骤 2-5，直到满足终止条件。

2.3 数学公式

• 临时参数：
  $${\theta }_{\text{temp}}={\theta }_t-\gamma v_t$$
• 动量项更新：
  $$v_{t+1}=\gamma v_t+\eta \nabla J({\theta }_{\text{temp}})$$
• 参数更新：
  θ t + 1 = θ t − v t + 1 \theta_{t+1} = \theta_t - v_{t+1} θt+1​=θ<