蓝桥杯C语言组：计算几何问题研究

蓝桥杯C语言组计算几何问题研究

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摘要

计算几何是蓝桥杯C语言组竞赛中的重要题型之一，涉及平面几何、向量运算、几何图形的性质等多个方面。本文对蓝桥杯C语言组中的计算几何题型进行了系统分类与分析，总结了各类题型的解题思路与方法，并结合具体例题进行详细解析，旨在为参赛选手提供系统的理论指导和实践参考。

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一、引言

蓝桥杯全国软件和信息技术专业人才大赛是国内知名的软件类竞赛，其中的算法设计部分对参赛者的编程能力和数学基础提出了较高要求。计算几何作为算法竞赛中的一个重要分支，常常出现在蓝桥杯的赛题中。计算几何问题不仅需要选手具备扎实的数学知识，还需要掌握高效的算法实现方法。因此，对蓝桥杯中的计算几何问题进行深入研究，对于提高参赛选手的解题能力和竞赛成绩具有重要意义。

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二、计算几何基础知识

（一）平面几何距离

1. 曼哈顿距离 曼哈顿距离是指在二维平面上，从点 (x1​,y1​) 到点 (x2​,y2​) 的水平距离与垂直距离之和。

2. 欧几里得距离 欧几里得距离是两点之间的直线距离。 在实际编程中，通常使用平方和开方的方式计算。

（二）点积和叉积

1. 点积 点积用于计算两个向量的夹角或判断向量的垂直关系。对于向量 a=(x1​,y1​) 和 b=(x2​,y2​)如果点积为零，则两个向量垂直。

2. 叉积 叉积用于计算两个向量的面积或判断点的相对位置。如果叉积为正，则向量 b 在向量 a 的逆时针方向；如果叉积为负，则在顺时针方向。

（三）三角形面积

1. 海伦公式 已知三角形的三边长 a、b 和 c，半周长 p=2a+b+c​，则三角形面积 S 为： S=p(p−a)(p−b)(p−c)​

2. 向量法 如果已知三角形的三个顶点坐标 (x1​,y1​)、(x2​,y2​) 和 (x3​,y3​)，则面积可以通过向量的叉积计算： S=21​∣(x2​−x1​)(y3​−y1​)−(x3​−x1​)(y2​−y1​)∣。

（四）点到直线的距离

点 (x0​,y0​) 到直线 Ax+By+C=0 的距离公式为： dist=A2+B2​∣Ax0​+By0​+C∣​ 如果使用向量表示，点到直线的距离可以通过叉积和向量长度计算。

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三、蓝桥杯中的典型计算几何题型

（一）点与线的关系

1. 判断点在直线的哪一侧 通过计算叉积的符号来判断点 P 相对于直线 AB 的位置。如果叉积为正，则点 P 在直线 AB 的逆时针方向；如果为负，则在顺时针方向。

2. 点到直线的距离 利用向量的叉积和长度计算点到直线的距离。具体公式为： dist=∣AB∣∣CA×CB∣​ 其中，CA 和 CB 分别是从点 C 到点 A 和点 B 的向量。

例题 1：点到直线的距离

题目描述：给定三个点 A(x1​,y1​)、B(x2​,y2​) 和 C(x3​,y3​)，求点 C 到直线 AB 的距离。 解题思路：

1. 计算向量 CA 和 CB。

2. 计算叉积 CA×CB。

3. 计算直线 AB 的长度。

4. 根据公式计算点到直线的距离。 代码实现：

#include 
#include 

double dist(double x1, double y1, double x2, double y2) {
    double dx = x1 - x2, dy = y1 - y2;
    return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}

int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        double xa, ya, xb, yb, xc, yc;
        scanf("%lf %lf %lf %lf %lf %lf", &xa, &ya, &xb, &yb, &xc, &yc);
        double xca = xa - xc, yca = ya - yc;
        double xcb = xb - xc, ycb = yb - yc;
        double ans = fabs(xca * ycb - xcb * yca) / dist(xa, ya, xb, yb);
        printf("%.2f\n", ans);
    }
    return 0;
}

（二）线与线的关系

1. 判断两条直线是否相交 两条直线 Ax+By+C=0 和 Dx+Ey+F=0 相交的条件是它们的系数不成比例，即： DA​=EB​ 如果系数成比例，则两条直线平行。

2. 计算两条直线的交点 如果两条直线相交，可以通过解方程组求出交点坐标。

例题 2：判断两条直线是否相交

题目描述：给定两条直线的方程 Ax+By+C=0 和 Dx+Ey+F=0，判断这两条直线是否相交。 解题思路：

1. 检查两条直线的系数是否成比例。

2. 如果系数不成比例，则两条直线相交；否则，它们平行。 代码实现：

#include 

int isIntersect(double A, double B, double C, double D, double E, double F) {
    return A * E != B * D;
}

int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        double A, B, C, D, E, F;
        scanf("%lf %lf %lf %lf %lf %lf", &A, &B, &C, &D, &E, &F);
        if (isIntersect(A, B, C, D, E, F)) {
            printf("相交\n");
        } else {
            printf("平行\n");
        }
    }
    return 0;
}

（三）多边形的面积

1. 任意多边形面积的计算 对于任意多边形，可以通过向量叉积计算其面积。假设多边形的顶点按顺序为 (x1​,y1​),(x2​,y2​),…,(xn​,yn​)，则面积公式为： S=21​​∑i=1n−1​(xi​yi+1​−xi+1​yi​)+(xn​y1​−x1​yn​)​

例题 3：计算多边形的面积

题目描述：给定一个凸多边形的顶点坐标，按顺时针或逆时针顺序排列，计算该多边形的面积。 解题思路：

1. 按顺序读取多边形的顶点坐标。

2. 使用上述公式计算多边形的面积。 代码实现：

#include 
#include 
#include 

typedef struct {
    double x, y;
} Point;

double polygonArea(Point points[], int n) {
    double area = 0.0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        double x1 = points[i].x, y1 = points[i].y;
        double x2 = points[(i + 1) % n].x, y2 = points[(i + 1) % n].y;
        area += (x1 * y2 - x2 * y1);
    }
    return fabs(area) / 2.0;
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    Point points[n];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%lf %lf", &points[i].x, &points[i].y);
    }
    double area = polygonArea(points, n);
    printf("%.2f\n", area);
    return 0;
}

（四）凸包问题

1. 凸包的定义 凸包是包含给定点集的最小凸多边形。计算凸包的常用算法是 Graham 扫描法。

2. Graham 扫描法 Graham 扫描法的基本步骤如下：

• 找到所有点中 y 值最小的点 p0​。

• 将所有点按照与 p0​ 的极角排序。

• 使用栈来维护凸包的顶点，依次判断每个点是否在凸包上。

例题 4：计算凸包

题目描述：给定平面上的若干个点，求这些点的凸包。 解题思路：

1. 找到 y 值最小的点。

2. 按极角对所有点进行排序。

3. 使用 Graham 扫描法计算凸包。 代码实现：

#include 
#include 
#include 

typedef struct {
    double x, y;
} Point;

Point operator-(Point a, Point b) {
    Point c;
    c.x = a.x - b.x;
    c.y = a.y - b.y;
    return c;
}

double cross(Point a, Point b) {
    return a.x * b.y - a.y * b.x;
}

double dot(Point a, Point b) {
    return a.x * b.x + a.y * b.y;
}

double length(Point a) {
    return sqrt(dot(a, a));
}

int cmp(const void *a, const void *b) {
    Point *p1 = (Point *)a, *p2 = (Point *)b;
    if (p1->x == p2->x) return p1->y - p2->y;
    return p1->x - p2->x;
}

Point *grahamScan(Point points[], int n) {
    qsort(points, n, sizeof(Point), cmp);
    Point *stack = (Point *)malloc(n * sizeof(Point));
    int top = 0;
    stack[top++] = points[0];
    stack[top++] = points[1];
    for (int i = 2; i < n; ++i) {
        while (top >= 2 && cross(stack[top - 1] - stack[top - 2], points[i] - stack[top - 1]) <= 0) {
            top--;
        }
        stack[top++] = points[i];
    }
    return stack;
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    Point points[n];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%lf %lf", &points[i].x, &points[i].y);
    }
    Point *convexHull = grahamScan(points, n);
    printf("%d\n", n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        printf("%.2f %.2f\n", convexHull[i].x, convexHull[i].y);
    }
    free(convexHull);
    return 0;
}

（五）圆的性质

1. 圆的面积 圆的面积公式为： S=πr2 其中 r 是圆的半径。

2. 圆的周长 圆的周长公式为： C=2πr

3. 两圆的位置关系 两圆的位置关系可以通过计算圆心距 d 来判断：

• 如果 d>r1​+r2​，则两圆外离。

• 如果 d=r1​+r2​，则两圆外切。

• 如果 ∣r1​−r2​∣

• 如果 d=∣r1​−r2​∣，则两圆内切。

• 如果 d<∣r1​−r2​∣，则一圆在另一圆内。

例题 5：两圆的位置关系

题目描述：给定两个圆的圆心坐标和半径，判断这两个圆的位置关系。 解题思路：

1. 计算两个圆的圆心距。

2. 根据圆心距与半径的关系判断两圆的位置关系。 代码实现：

#include 
#include 

double dist(double x1, double y1, double x2, double y2) {
    double dx = x1 - x2, dy = y1 - y2;
    return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}

int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        double x1, y1, r1, x2, y2, r2;
        scanf("%lf %lf %lf %lf %lf %lf", &x1, &y1, &r1, &x2, &y2, &r2);
        double d = dist(x1, y1, x2, y2);
        if (d > r1 + r2) {
            printf("外离\n");
        } else if (d == r1 + r2) {
            printf("外切\n");
        } else if (d < fabs(r1 - r2)) {
            printf("内含\n");
        } else if (d == fabs(r1 - r2)) {
            printf("内切\n");
        } else {
            printf("相交\n");
        }
    }
    return 0;
}

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四、总结

计算几何是蓝桥杯C语言组竞赛中的一个重要模块，涉及平面几何、向量运算、几何图形的性质等多个方面。通过对蓝桥杯中常见计算几何题型的分析，本文总结了各类题型的解题思路与方法，并结合具体例题进行详细解析。计算几何问题的解题关键在于熟练掌握几何公式和向量运算，并能够灵活运用算法思想进行问题求解。希望本文的研究能够为参赛选手提供系统的理论指导和实践参考，帮助他们在蓝桥杯竞赛中取得更好的成绩。