CF Round 1004 记录 & 题解（div.1 A - D1 & div.2 D - F）

今天上午VP Codeforces Round 1004 (Div. 2)，下午改Codeforces Round 1004 (Div. 1)。上午C题因为少判了一个条件，罚时吃饱了。

• [Codeforces 2066A & 2067D] Object Identification

  神奇交互题。观察到一个性质：对象 $A$ 的答案可能是 $0$，但对象 $B$ 的答案不可能是 $0$。

  若 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 不是 $1\sim n$ 的一个排列，一定可以找到一个不在 $x$ 中的数 $k$，对其与另一个不同的数询问。若是对象 $A$，因为 $k$ 没有向任何点连边，所以答案一定为 $0$。若答案不为 $0$，则是对象 $B$。

  若 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是 $1\sim n$ 的一个排列，那么找到满足 $x_i=1,x_j=n$ 的 $i,j$。询问 $(i,j)$ 与 $(j,i)$。若是对象 $B$，那么两个答案应该是相等的，并且都 $\ge n-1$（因为 $\left|x_i-x_j\right|=n-1$）。然而如果是对象 $A$，那么当 $n\ge 3$，不可能同时存在一条长度至少为 $n-1$ 的 $i$ 到 $j$ 的路径与一条长度至少为 $n-1$ 的 $j$ 到 $i$ 的路径（因为 $2(n-1)\ge n$）。综上所述，若两个答案相等并且都 $\ge n-1$，则是对象 $B$，否则是对象 $A$。

  按照题解模拟即可。

• [Codeforces 2066B & 2067E] White Magic

  这题似乎挺简单的，只是赛时看了一眼但是没多想。

  首先可以注意到，没有 $0$ 的子序列一定是合法的，有两个及以上的 $0$ 的子序列一定是非法的。所以要么选所有非零元素，要么选所有非零元素与一个 $0$。

  若是选一个 $0$，显而易见，选最左侧的 $0$ 是最优的。于是判断这么选是否合法即可。

• [Codeforces 2066C & 2067F] Bitwise Slides

  很有意思的 DP 题。

  我们根据题意可以得出，对于时刻 $i$，记 $su{m}_i={\oplus }_{j=1}^i{a}_j$，有 $P\oplus Q\oplus R={\oplus }_{j=1}^i{a}_j$。于是对于某个时刻，有这三种状态：$\{su{m}_i,x,x\},\{x,su{m}_i,x\},\{x,x,su{m}_i\}$。设 $d{p}_{i,x}$ 表示这三种状态的情况数，经过推导（具体过程略），可以得出 $d{p}_{i,su{m}_{i-1}}=3\times d{p}_{i-1,su{m}_{i-1}}+2\times d{p}_{i-1,su{m}_i}$。发现可以滚动。由于值域较大，用 map 维护 DP 即可。

• [Codeforces 2066D1] Club of Young Aircraft Builders (easy version)

  有趣的组合数学题。

  因为下面的楼层并不会影响上面的楼层，所以从下往上考虑。对于某一个高度，丢飞机的次数最多为 $c$，假设它实际丢 $k$ 个，则有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{k}\right)$ 种情况。所以设 $d{p}_{i,j}$ 表示到了第 $i$ 层楼，已经丢了 $j$ 个飞机的情况数。有转移方程 $d{p}_{i,j}={\sum }_{k=0}^c\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{k}\right)\cdot d{p}_{i-1,j-k}$。

  答案为 $d{p}_{n,m}$。直接 DP 即可。

  扩展：求证答案为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{nc-c}{m-c}\right)$。