算法分析与设计（一）——0-1背包问题

在简单复习完数据结构以后，便开始了算法复习。本博客将结合复习视频与LeetCode题目，面向机考算法复习。背包动态规划问题一般分为三种题型：

• 最值问题：给定可选物品和限定容量，求最大价值或者最大体积。
  ①0-1背包问题
  ②完全背包问题。
• 恰好取到背包容量问题
  ①0-1背包问题 + 恰好取到背包容量。
• 组合问题
  ①考虑顺序得组合问题。
  ②0-1背包组合问题。

1 三种背包问题详解

三种背包问题都建立在0-1背包问题得基础之上的，因此下面我将从0-1背包开始，介绍三种问题的求解方式。
（1）0-1背包问题：

• 最大价值
  $dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}dp[i-1][j],& 不能放入\\ \max \{dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+p[i],& 可以装入\}\end{array}$
• 最大体积
  $dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}dp[i-1][j],& 不能放入\\ \max \{dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+v[i],& 可以装入\}\end{array}$

其中，最大价值和最大体积的区别就是在可以装入时，dp[i][j]加上的是价值还是体积。

（2）完全背包问题
完全背包问题中每个物品可以被无限次的选用，因此相对于0-1背包问题，它的递推方程仅有一处不同：
$$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}dp[i-1][j],& 不能放入\\ \max \{dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+p[i],& 可以装入\}\end{array}$$

即在考虑装入物品i后，还要从物品i开始考虑而不是从物品i-1开始选择。

（3）恰好背包问题
恰好背包问题就是“0-1背包问题+最大体积+判断能否恰好装下”。

（4）组合问题
组合问题是一个物品只能选择一次，输出获得最大价值时物品的选择可能情况。对于物品i在容量为j时的可选择情况是由不装入物品i时的可能情况+装入物品i时的可能情况组成。因此递推方程为：
d p [ i ] [ j ] = { d p [ i − 1 ] [ j ] , 不 能 放 入 max ⁡ { d p [ i − 1 ]