简化版奇异值分解（SVD）方法详解

简化版奇异值分解（SVD）方法详解

奇异值分解（SVD）是一个强大的矩阵分解工具，广泛应用于数据降维、图像压缩、机器学习等领域。然而，对于大规模数据或高维矩阵，计算和存储的开销非常大，因此提出了多种简化版的 SVD 方法。这些简化版方法在保证解的精度的同时，能够显著减少计算量和内存占用。

本文将详细介绍几种简化版 SVD 方法，包括经济型 SVD、随机化 SVD、增量 SVD、分块 SVD 和偏最小二乘法（PLS），并通过数学公式详细解释这些方法。

目录

1. 基本概念
2. 经济型SVD（Economy SVD）
3. 随机化SVD（Randomized SVD）
4. 增量SVD（Incremental SVD）
5. 分块SVD（Block SVD）
6. 偏最小二乘法（PLS）
7. 代码示例与解读

基本概念

奇异值分解（SVD）

给定一个矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，奇异值分解（SVD）将其分解为三个矩阵的乘积：

$$A=U\Sigma V^T$$

• $U\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$ 是一个正交矩阵，其列向量为矩阵 $A$ 的左奇异向量。
• $\Sigma \in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ 是一个对角矩阵，其对角线上的元素为矩阵 $A$ 的奇异值，通常按降序排列。
• $V^T\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 是一个正交矩阵，其列向量为矩阵 $A$ 的右奇异向量。

最小二乘问题

SVD 常用于求解最小二乘问题，其中的目标是最小化目标函数：

$$\underset{\theta }{\min }\Vert A\theta -b{\Vert }_2^2$$

其中 $A$ 是矩阵，$b$ 是目标值，$\theta$ 是需要求解的未知向量。通过 SVD 分解 $A$，我们可以得到解：

$$\theta =V{\Sigma }^{-1}{U}^{T}b$$

经济型SVD（Economy SVD）

数学原理

经济型 SVD 是对标准 SVD 的一种优化。假设矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ 进行 SVD 分解时，得到的矩阵 $U\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$ 和 $V^T\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 的维度通常很大，而实际需要的只是 $r$ 个奇异值和对应的奇异向量，其中 $r$ 是矩阵 $A$ 的秩。

经济型 SVD 只计算和存储矩阵的前 $r$ 个奇异值和对应的奇异向量，减少了计算和存储开销：

$$A=U_r{\Sigma }_r{V}_r^T$$

• $U_r\in {\mathbb{R}}^{m\times r}$
• ${\Sigma }_r\in {\mathbb{R}}^{r\times r}$
• $V_r^T\in {\mathbb{R}}^{r\times n}$

这种方法适用于低秩矩阵和降维任务。

优点

• 减少计算量，节省内存。
• 适用于大规模矩阵，特别是秩较小的矩阵。

随机化SVD（Randomized SVD）

数学原理

随机化 SVD 是通过引入随机矩阵来近似计算 SVD。其基本思路是使用一个随机矩阵 $\Omega \in {\mathbb{R}}^{n\times k}$，将矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ 投影到低维空间：

$$Y=A\Omega$$

然后对低维矩阵 $Y$ 执行标准 SVD 分解：

$$Y=U_k{\Sigma }_k{V}_k^T$$

通过低维矩阵 $Y$ 的 SVD，我们可以获得矩阵 $A$ 的近似解。该方法的核心是用随机矩阵进行数据投影，使得高维数据的 SVD 计算变得更快速。

数学表达式

$$A\approx U_k{\Sigma }_k{V}_k^T$$

其中 $U_k\in {\mathbb{R}}^{m\times k}$，${\Sigma }_k\in {\mathbb{R}}^{k\times k}$，$V_k^T\in {\mathbb{R}}^{k\times n}$。

优点

• 可以大幅度减少计算复杂度，特别是对于高维矩阵。
• 适用于大数据处理，减少了存储需求。

增量SVD（Incremental SVD）

数学原理

增量 SVD 适用于处理动态数据流，它可以在新数据到来时逐步更新已有的 SVD，而不需要每次都从头开始计算。该方法通过增量更新奇异值和奇异向量来避免全量重算。

假设我们已经有了矩阵 $A_0$ 的 SVD 分解：

$$A_0=U_0{\Sigma }_0{V}_0^T$$

当新的数据 $A_{\text{new}}$ 加入时，增量 SVD 通过更新现有的分解得到新的 SVD。

数学表达式

$$A_{\text{updated}}=[A_0{A}_{\text{new}}]$$

我们使用现有的 SVD 解 $U_0,{\Sigma }_0,V_0^T$ 来合并新数据，得到更新后的解。

优点

• 适合实时数据处理和在线学习。
• 可以逐步更新，不需要每次重新计算。

分块SVD（Block SVD）

数学原理

分块 SVD 是将矩阵分割成多个小块进行分解的技术。这种方法将大矩阵分解成更小的矩阵块，并对每个块进行独立的 SVD 计算。最后，合并各个块的结果。

假设矩阵 $A$ 被分成 $k$ 个小块：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_1& A_2& \dots & A_k\end{array}\right]$$

然后对每个小块 $A_i$ 执行 SVD 分解：

$$A_i=U_i{\Sigma }_i{V}_i^T$$

数学表达式

将每个小块的 SVD 结果合并，得到整体矩阵的分解：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{U}_1& U_2& \dots & U_k\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{\Sigma }_1& {\Sigma }_2& \dots & {\Sigma }_k\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{V}_1^T& V_2^T& \dots & V_k^T\end{array}\right]$$

优点

• 适用于分布式计算和多核处理。
• 可以并行计算，提高效率。

偏最小二乘法（PLS）

数学原理

偏最小二乘法（PLS）是通过同时降维输入矩阵和输出矩阵来解决回归问题。PLS 实际上与 SVD 紧密相关，它通过分解输入数据 $X$ 和输出数据 $Y$ 来找到同时解释输入和输出之间关系的潜在成分。

在 PLS 中，输入矩阵 $X$ 和输出矩阵 $Y$ 的分解如下：

$$X=T{P}^T,Y=U{Q}^T$$

其中，$T$ 和 $U$ 是潜在的成分，$P$ 和 $Q$ 是与输入和输出变量的关系矩阵。

数学表达式

$$\underset{\theta }{\min }\Vert X\theta -Y{\Vert }_2^2$$

通过 PLS，我们可以降低数据的维度，同时保持预测性能。

代码示例与解读

下面是一个使用经济型 SVD 的代码示例：

% 生成示例矩阵
A = randn(100, 50);  % 一个 100 x 50 的矩阵

% 使用经济型 SVD 进行分解
[U, S, V] = svd(A, 'econ');

% 输出前 5 个奇异值
disp('前 5 个奇异值:');
disp(diag(S(1:5, 1:5)));

% 输出 U 和 V 的维度
disp('U 的维度:');
disp(size(U));
disp('V 的维度:');
disp(size(V));