力扣LeetCode: 120 三角形最小路径和

题目：

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

解法：动态规划

问题分析：

• 我们需要从三角形的顶部到底部找到一条路径，使得路径上的数字之和最小。

• 每一步只能移动到下一行相邻的节点（即当前行的下标 i 可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1）。

动态规划思路：

1. 状态定义：

   • 设 dp[i][j] 表示从三角形顶部到第 i 行第 j 列的最小路径和。

2. 状态转移方程：

   • 对于第 i 行的第 j 列，可以从第 i-1 行的第 j-1 列或第 j 列移动而来。

   • 因此，状态转移方程为：

     dp[i][j]=triangle[i][j]+min⁡(dp[i−1][j−1],dp[i−1][j])dp[i][j]=triangle[i][j]+min(dp[i−1][j−1],dp[i−1][j])

   • 注意边界条件：

     • 如果 j == 0，只能从 dp[i-1][j] 移动而来。

     • 如果 j == i，只能从 dp[i-1][j-1] 移动而来。

3. 初始条件：

   • dp[0][0] = triangle[0][0]，即三角形的顶部。

4. 最终结果：

   • 最终的最小路径和是 dp 数组最后一行的最小值。

优化空间复杂度：

• 由于 dp[i][j] 只依赖于 dp[i-1][j-1] 和 dp[i-1][j]，我们可以使用一维数组来优化空间复杂度。

• 从下往上计算，可以避免覆盖问题。

代码实现：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector>& triangle) {
        int n = triangle.size();
        // 从倒数第二行开始，向上计算
        for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
            for (int j = 0; j <= i; ++j) {
                // 更新当前行的最小路径和
                triangle[i][j] += min(triangle[i + 1][j], triangle[i + 1][j + 1]);
            }
        }
        // 返回顶部的值
        return triangle[0][0];
    }
};

代码解释：

1. 从倒数第二行开始，逐行向上计算。

2. 对于每一行的每个元素，更新其值为当前值加上下一行相邻两个元素的最小值。

3. 最终，triangle[0][0] 就是自顶向下的最小路径和。

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(n2)O(n2)，其中 nn 是三角形的行数。我们需要遍历每个元素。

• 空间复杂度：O(1)O(1)，直接在原数组上进行修改，没有使用额外空间。