武圣破难上山之他要学习——《贪心》

一、贪心算法原理与实例剖析

        贪心算法作为一种独具特色且应用广泛的策略，占据着重要地位。其核心策略在于将复杂的整体问题，拆解为一系列紧密相连的步骤。每一个步骤都选取当前状态下的最优方案，通过这样的方式步步推进，直至完成所有步骤。从本质而言，贪心算法在处理问题时，着重于当下的抉择，全力聚焦于当下时刻的最优选择，而暂且搁置对最终结果的预先考量。

        然而，运用贪心算法时需格外留意一个关键前提：每一步所做出的选择，务必确保不会对后续步骤产生负面影响，每一步都应保持相对独立，互不干扰。

        为了更为直观地理解贪心算法，我们来看一个具体例子。假设有三种面值的硬币，分别为 1 元、2 元、5 元，且每种硬币数量充足。现在要支付 M 元，目标是使用最少数量的硬币，该如何选择支付组合呢？

        经简单分析，我们很容易得出局部最优策略：为使硬币数量最少，每次选择硬币时，优先挑选面值较大的。比如，当 M = 10 元时，我们会优先选择 2 个 5 元硬币，仅用 2 个硬币就完成支付。若先选小面值硬币，所需硬币数量会更多。在此例中，始终采取这种局部最优策略，最终能获得全局最优结果，即使用最少数量的硬币完成支付。

        不过，并非所有问题都能通过局部最优策略轻松达成全局最优。再看另一个例子，现有四种面值的硬币，分别是 1 元、3 元、7 元、8 元，数量同样不限，要支付 M 元并使用最少数量的硬币。

        假设需支付 10 元，若按先前的贪心算法，每次优先选大面值硬币，我们会先选 1 个 8 元硬币，剩余 2 元再选 2 个 1 元硬币，共需 3 个硬币，支付方式为 8 + 1 + 1 。但全面考虑所有可能组合后会发现，采用 1 个 3 元硬币和 1 个 7 元硬币的组合，即 3 + 7 ，仅需 2 个硬币就能完成支付，这才是最优方案。

        为何同样是求最少硬币支付问题，结果却大相径庭？这背后与硬币面值间的关系紧密相关。在第一个例子中，5 元（大面值）＞ 1 元 + 2 元（小面值之和），这意味着优先选大面值硬币，不会致使后续需用更多小面值硬币来填补，从而可通过局部最优策略得到全局最优解。但在第二个例子中，8 元（大面值）＜ 1 元 + 3 元 + 7 元（小面值之和），这使得仅靠每次选大面值硬币的局部最优策略，无法保证获得使用最少数量硬币的全局最优解，某些情形下，先选小面值硬币的组合反而更优。

二、贪心算法的适用场景

一般而言，当问题具备以下两种特性时，便可以考虑运用贪心算法：

• 贪心选择性质：对于给定问题，若能证明在任何阶段，当下的贪心选择都不会对未来的最优解造成影响，或者说当前的最优选择是可靠的，能够通过局部最优逐步达成全局最优。

• 最优子结构性质：若问题的最优解所涵盖的子问题的解同样是最优的，我们称该问题具备最优子结构性质。即问题的最优解可由子问题的最优解组合而成，且各子问题的最优解相互独立，不会干扰其他子问题的最优解。

在 “有 1 元、3 元、7 元、8 元的四种硬币，数量不限，需要支付 M 元且要求硬币数量最少” 这个问题中，若按照贪心算法的思路，每一步都优先选择当前面值最大的硬币，局部最优选择是优先使用大面值硬币。比如当需要支付 10 元时，按照贪心策略，先选 8 元硬币，剩下 2 元再选 2 个 1 元硬币，总共使用 3 个硬币（8 + 1 + 1）。但实际上，使用 1 个 3 元硬币和 1 个 7 元硬币的组合（3 + 7），仅需 2 个硬币就能完成支付，这种非贪心选择的方式得到了更优的结果。

这表明在这个问题中，每一步的局部最优选择（优先选大面值硬币）并不能保证最终得到全局最优解（硬币数量最少），即当前的贪心选择并不能导向整体问题的最优解，所以违背了贪心选择性质。而该问题依然具有最优子结构性质，因为对于支付金额 M 元的问题，其最优解包含的子问题（如支付 M - 3 元、M - 7 元等）的解也是最优的，只是贪心选择性质的缺失导致无法直接使用贪心算法来求解。

尽管上述阐述已较为详细，但对于读者而言，可能仍稍显抽象。要解决实际的贪心问题，需要做到以下两点：

1. 经验积累：积累各种不同类型的贪心问题案例。

2. 反例验证：在提出贪心策略后，构造反例，通过验证来判断所构思的贪心策略是否正确。

三、例题

对于贪心问题，拥有一定的经验是至关重要的，在考场上，一般情况下没有机会去进行严格的证明，80%都是依靠感觉和经验，所以，多打怪，多升级。

1、灾荒谈判

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2、付账问题

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