灰色系统理论及其关联分析方法

前言

在现实世界中，许多系统的内部结构、参数及特征并未完全被人们认知。例如，粮食产量受肥料、气象、政策等多因素影响，但各因素与产量间的定量关系难以明确。这类部分信息已知、部分信息未知的系统被称为灰色系统。灰色系统理论从数据本征特性出发，通过有限信息挖掘系统规律，为信息匮乏或紊乱的问题提供建模与分析方法。本章将介绍灰色系统的基本概念及其核心方法——关联分析，揭示如何通过动态态势量化解决实际问题。

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§1 灰色系统概论

1.1 系统分类与灰色系统定义

系统是由相互关联、制约的要素构成的整体。根据信息完整性，系统可分为三类：

1. 白色系统：内部机理完全明确，如牛顿定律描述的物体运动系统。
2. 黑色系统：内部特性完全未知，如未掌握任何信息的“黑箱”。
3. 灰色系统：内部特性部分已知，如农业、经济等复杂系统。

关键区别：系统内因素间是否存在确定关系。例如，某地区粮食产量受多因素影响，但无法建立精确的物理模型，即属于灰色系统。

1.2 灰色系统的相对性与应用场景

白、灰、黑的分类具有相对性，取决于认知层次。例如：

• 客人对狗惧怕汽车的行为视为黑箱（完全未知）；
• 主人因知狗曾被撞伤，则视为灰箱（部分已知）。

灰色系统广泛存在于社会经济领域，如：

• 农业系统：肥料、气象等因素与产量的非线性关系；
• 经济系统：政策、投资与产出的动态关联；
• 生态系统：物种交互与环境变化的复杂影响。

传统方法（如回归分析）依赖大样本与典型分布，但灰色系统理论通过生成数（Generated Numbers）突破这些限制，利用少量数据挖掘规律。例如，将随机量视为灰色量，通过累加生成等数据处理方法，发现指数规律等隐藏特征。

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§2 关联分析

2.1 关联分析的核心思想

关联分析用于量化因素间动态关联程度，通过比较发展态势的相似性，识别主要影响因素。其优势包括：

• 无需大量数据；
• 不受典型分布限制；
• 计算简便，可手工实现。

示例：收入与养殖业的关联

某地区1977–1983年总收入（$x_0$）、养猪收入（$x_1$）、养兔收入（$x_2$）数据如下：

年份	1977	1978	1979	1980	1981	1982	1983
总收入	18	20	22	40	44	48	60
养猪	10	15	16	24	38	40	50
养兔	3	2	12	10	22	18	20

绘制曲线图可直观看出：总收入曲线与养猪收入曲线趋势更接近，说明养猪对总收入影响更大。但复杂问题需通过数学计算量化关联度。

2.2 数据变换技术

为消除量纲差异，需对原始数据进行标准化处理。常用变换方法包括：

1. 初值化变换：
   $$y(k)=\frac{x(k)}{x(1)},x(1)\ne 0$$
2. 均值化变换：
   $$y(k)=\frac{x(k)}{\bar{x}},\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}x(k)$$
3. 百分比变换：
   $$y(k)=\frac{x(k)}{{\max }_{k}x(k)}$$
4. 区间值化变换：
   $$y(k)=\frac{x(k)-{\min }_{k}x(k)}{{\max }_{k}x(k)-{\min }_{k}x(k)}$$

2.3 关联度计算步骤

1. 确定参考数列与比较数列

   • 参考数列：目标变量（如总收入 $x_0$）；
   • 比较数列：影响因素（如养猪 $x_1$、养兔 $x_2$）。

2. 计算关联系数
   关联系数公式：
   $${\xi }_i(k)=\frac{{\min }_i{\min }_k|x_0(k)-x_i(k)|+\rho {\max }_i{\max }_k|x_0(k)-x_i(k)|}{|x_0(k)-x_i(k)|+\rho {\max }_i{\max }_k|x_0(k)-x_i(k)|}$$
   其中 $\rho \in [0,1]$ 为分辨系数（通常取0.5），用于调节分辨率。

3. 求关联度
   关联度为关联系数的平均值：
   $$r_i=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\xi }_i(k)$$

示例：铅球运动员成绩分析

某运动员1982–1986年专项成绩（$x_0$）与16项素质指标（$x_1$至$x_{16}$）数据经初始化处理后，计算关联度如下表：

因素	$r_1$	$r_2$	$r_3$	$r_4$	$r_5$	$r_6$	$r_7$	$r_8$
关联度	0.588	0.663	0.854	0.776	0.855	0.502	0.659	0.582

因素	$r_9$	$r_{10}$	$r_{11}$	$r_{12}$	$r_{13}$	$r_{14}$	$r_{15}$	$r_{16}$
关联度	0.683	0.696	0.896	0.705	0.933	0.847	0.745	0.726

结论：全蹲（$r_{13}=0.933$）、3kg滑步（$r_{11}=0.896$）对成绩影响最大，训练中应优先加强这些项目。

2.4 MATLAB实现

以铅球运动员数据分析为例，MATLAB代码如下：

clc, clear  
load x.txt % 加载数据  
for i=1:15  
    x(i,:) = x(i,:)/x(i,1); % 标准化前15项  
end  
for i=16:17  
    x(i,:) = x(i,1)./x(i,:); % 标准化后2项（时间减少代表水平提升）  
end  
ck = data(1,:); % 参考数列（专项成绩）  
bj = data(2:end,:); % 比较数列  
m2 = size(bj,1);  
for j=1:m2  
    t(j,:) = bj(j,:) - ck;  
end  
mn = min(min(abs(t)));  
mx = max(max(abs(t)));  
rho = 0.5;  
ksi = (mn + rho*mx) ./ (abs(t) + rho*mx);  
r = sum(ksi, 2)/n; % 计算关联度  
[rs, rind] = sort(r, 'descend'); % 关联度排序  

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总结

灰色系统理论通过关联分析，将复杂系统的动态关联转化为可计算的数学问题。其核心在于从有限数据中提取生成规律，为农业、经济等领域提供决策支持。后续章节将进一步探讨灰色预测、优势分析等高级方法。