差分和前缀和（一维和二维）
一维的前缀和
对于一个给定的数列a1,a2,a3....an，其前缀和数列Sn定义为Sn=a1+a2+a3+...an，其中Sn表示数列前n项的和。特别地，Sn=0，方便后续计算。例如，对于数列2,4,6,8,10，其前缀和数列为0,2,6,12,20,30。
作用：
前缀和可以用来计算区间和。如果要求数列中区间[l,r]的和，可以通过S[r]-S[l-1]来计算得到。
如何求前缀和：
for(int i=1;i<=n;i++){
s[i]=s[i-1]+a[i];
}例题：
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问，输出原序列中从第 l个数到第 r个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10代码：
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N],s[N];
int n,m;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
s[i]=s[i-1]+a[i];
}
while(m--){
int l,r;
scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%d\n",s[r]-s[l-1]);
}
return 0;
} 二维的前缀和：
作用：
可以求一个区域范围内的和，例如求子矩阵的和。
如何求：
例题：
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。
输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21代码：
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N],s[N][N];
int main(){
int n,m,q;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%d",&a[i][j]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
}
}
while(q--){
int x1,y1,x2,y2;
scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
int sum=s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1];
printf("%d\n",sum);
}
return 0;
} 一维的差分：
对于一个数列a1,a2,a3....an,，它的差分数列bi定义为bi=ai-a(i-1)，其中i>=2，并且b1=a1。例如，对于数列2,4,6,8,10，其差分数列为2,2,2,2,2。
作用：
区间修改问题：假设要对数列的某个区间进行统一的增减操作，比如都加上。如果直接对原数列进行操作，时间复杂度较高。但利用差分，只需要对差分数列的加上，对减去（如果不越界），最后通过差分数列还原原数列时，就可以快速实现区间修改操作，将时间复杂度从优化为。
例题：
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数序列。
接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2代码：
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N],b[N];
void insert(int l,int r,int c){
b[l]= b[l]+c;
b[r+1]=b[r+1]-c;
}
int main(){
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
insert(i,i,a[i]);
}
while(m--){
int l,r,c;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
insert(l,r,c);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=a[i-1]+b[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
printf("%d ",a[i]);
}
} 二维的差分：
作用：
对某个区域范围内的数进行修改。
例题 ：
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 cc。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含 5个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。
输出格式
共 n行，每行 mm 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000
1≤q≤100000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤c≤1000
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N],b[N][N];
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c){
b[x1][y1]=b[x1][y1]+c;
b[x2+1][y1]-=c;
b[x1][y2+1]-=c;
b[x2+1][y2+1]+=c;
}
int main(){
int n,m,q;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%d",&a[i][j]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
insert(i,j,i,j,a[i][j]);
}
}
while(q--){
int x1,y1,x2,y2,c;
scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
insert(x1,y1,x2,y2,c);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
printf("%d ",b[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}