多源 BFS 算法详解：从原理到实现，高效解决多源最短路问题

        多源 BFS 是一种解决 边权为 1 的多源最短路问题 的高效算法。其核心思想是将所有源点视为一个“超级源点”，通过一次 BFS 遍历即可计算所有节点到最近源点的最短距离。以下从原理、实现和代码示例三个方面深入讲解：

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目录

一、原理分析

1. 单源 BFS vs 多源 BFS

2. 正确性证明

3. 时间复杂度

二、C++ 实现步骤

1. 初始化

2. BFS 扩展

三、代码示例

四、代码解释

初始化阶段

BFS 扩展阶段

五、应用场景

六、注意事项

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一、原理分析

1. 单源 BFS vs 多源 BFS

• 单源 BFS：从单一源点出发，逐层扩展，记录每个节点到该源点的最短距离。

• 多源 BFS：将多个源点 同时加入队列，作为 BFS 的初始层。每个节点被首次访问时，记录的是到最近源点的最短距离。

2. 正确性证明

• BFS 的逐层扩展特性保证：当某个节点被首次访问时，其路径长度即为最短距离。

• 所有源点同时作为初始层，相当于它们处于“第 0 层”，后续扩展的层数即为到最近源点的距离。

3. 时间复杂度

• 与单源 BFS 相同，时间复杂度为 O(N)（假设共 N 个节点），每个节点和边仅被处理一次。

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二、C++ 实现步骤

以二维网格为例，假设 grid 表示网格，其中 1 为源点，0 为可通行节点。目标是计算每个节点到最近源点的距离。

1. 初始化

• 队列：将所有源点坐标加入队列。

• 距离数组：源点距离初始化为 0，其他节点初始化为 -1（表示未访问）。

2. BFS 扩展

• 从队列中取出节点，检查其四个方向（上、下、左、右）。

• 若相邻节点未被访问过，更新其距离并加入队列。

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三、代码示例

#include 
#include 
using namespace std;

vector> multiSourceBFS(vector>& grid) {
    int rows = grid.size();
    int cols = grid[0].size();
    queue> q;
    vector> dist(rows, vector(cols, -1));

    // 初始化：将所有源点加入队列，并设置距离为 0
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            if (grid[i][j] == 1) {
                q.push({i, j});
                dist[i][j] = 0;
            }
        }
    }

    // 四个移动方向：上、下、左、右
    vector> dirs = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}};

    while (!q.empty()) {
        auto [x, y] = q.front();
        q.pop();

        for (auto [dx, dy] : dirs) {
            int nx = x + dx;
            int ny = y + dy;

            // 检查边界和是否已访问
            if (nx >= 0 && nx < rows && ny >= 0 && ny < cols && dist[nx][ny] == -1) {
                dist[nx][ny] = dist[x][y] + 1;
                q.push({nx, ny});
            }
        }
    }

    return dist;
}

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四、代码解释

1. 初始化阶段

   • 遍历网格，将所有源点（值为 1）的坐标加入队列，并设置其距离为 0。

   • 其他节点的距离初始化为 -1，表示未访问。

2. BFS 扩展阶段

   • 从队列中取出节点，检查四个方向的相邻节点。

   • 若相邻节点在网格内且未被访问，更新其距离为当前节点距离 +1，并将其加入队列。

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五、应用场景

• 计算多个起点到所有节点的最短距离（如疫情传播模拟、火源蔓延模型）。

• 地图中多个商店到用户的最短路径计算。

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六、注意事项

1. 边权必须为 1：若边权不同，需使用 Dijkstra 或 Floyd-Warshall 算法。

2. 空间优化：可直接在原数组上修改距离，避免额外空间开销。

3. 性能优势：相比暴力法（每个源点单独 BFS），时间复杂度从 O(kN) 优化到 O(N)，其中 k 是源点数量。

        通过多源 BFS，我们能够以高效的方式解决多个起点同时扩散的最短路径问题，是图论中一种重要的优化技巧。