堆栈应用（二）：汉诺塔

1、问题描述

　　汉诺塔（ Towers of Hanoi）问题来自一个古老的传说：在世界刚被创建的时候有一座钻石宝塔（塔1 ），其上有6 4个金碟（如图 5 - 4所示）。所有碟子按从大到小的次序从塔底堆放至塔顶。紧挨着这座塔有另外两个钻石宝塔（塔 2和塔3）。从世界创始之日起，婆罗门的牧师们就一直在试图把塔 1 上的碟子移动到塔 2上去，其间借助于塔 3的帮助。由于碟子非常重，因此，每次只能移动一个碟子。另外，任何时候都不能把一个碟子放在比它小的碟子上面。按照这个传说，当牧师们完成他们的任务之后，世界末日也就到了。在汉诺塔问题中，已知 n个碟子和 3 座塔。初始时所有的碟子按从大到小次序从塔 1 的底部堆放至顶部，我们需要把碟子都移动到塔 2，每次移动一个碟子，而且任何时候都不能把大碟子放到小碟子的上面。在继续往下阅读之前，可以先尝试对 n= 2 , 3和4来解决这个问题。
  　一个非常优雅的解决办法是使用递归。为了把最大的碟子移动到塔 2，必须把其余n- 1 个碟子移动到塔 3，然后把最大的碟子移动到塔 2。接下来是把塔 3上的 n- 1 个碟子移动到塔 2，为此可以利用塔 2和塔1 。可以完全忽视塔 2上已经有一个碟子的事实，因为这个碟子比塔 3上将要移过来的任一个碟子都大，因此，可以在它上面堆放任何碟子。事实上递归本身就是用堆栈实现的。

　　

盘子移动次数为：

推导可得moves(n)=2ⁿ-1,可以证明这实际上是最少移动次数

　　假定希望给出每次移动之后三座塔的状态（即塔上的碟子及其次序），那么必须在内存中保留塔的状态，并在每次移动碟子之后，对塔的状态进行修改。这样每移动一个碟子时，就可以在一个输出设备（如计算机屏幕、打印机等）上输出塔的信息。由于从每个塔上移走碟子时是按照 L I F O的方式进行的，因此可以把每个塔表示成一个堆栈。三座塔在任何时候都总共拥有 n 个碟子，因此，如果使用链表形式的堆栈，只需申请 n个元素所需要的空间。如果使用的是基于公式化描述的堆栈，塔 1和塔2的容量都必须是 n，而塔3的容量必须为 n- 1 ，因而所需要的空间总数为 3n- 1 。前面的分析已经指出，汉诺塔问题的复杂性是以 n 为指数的函数，因此在可以接受的时间范围内，只能解决 n 值比较小（如 n≤ 3 0）的汉诺塔问题。对于这些较小的 n 值，基于公式描述和基于链表描述的堆栈在空间需求上的差别相当小，因此可以随意使用。
　　本文使用基于链表描述的堆栈实现。

2、代码实现

汉诺塔程序（其中LinkedStack.h实现见堆栈的链表方式实现）：

 1 #ifndef HANOICLASS_H
 2 #define HANOICLASS_H
 3 #include <iostream>
 4 #include "LinkedStack.h"
 5 
 6 using std::cout;
 7 using std::endl;
 8 
 9 class Hanoiclass
10 {
11     friend void TowersOfHanoi(int);
12 public:
13     void TowersOfHanoi(int n, int x, int y, int z);//递归解决汉诺塔
14 private:
15     LinkedStack<int> *S[4];
16     void ShowState();//输出3个塔的状态
17 };
18 
19 void Hanoiclass::TowersOfHanoi(int n, int x, int y, int z)
20 {
21     if (n > 0)
22     {
23         TowersOfHanoi(n - 1, x, z, y);
24         cout << "Move top disk from tower " << x << "to top of tower " << y << std::endl;
25         int temp;
26         S[x]->Delete(temp);//从x塔顶移出盘子
27         S[y]->Add(temp);//盘子移入y塔顶
28         ShowState();
29         TowersOfHanoi(n - 1, z, y, x);
30     }
31 }
32 
33 void TowersOfHanoi(int n)
34 {
35     Hanoiclass X;
36     for (int i = 1; i < 4;++i)
37     {
38         X.S[i] = new LinkedStack<int>;
39     }
40 
41     for (int d = n; d>0;--d)
42     {
43         X.S[1]->Add(d);
44     }
45     X.ShowState();
46     X.TowersOfHanoi(n, 1, 2, 3);
47     
48 }
49 
50 void Hanoiclass::ShowState()
51 {
52     for (int i = 1; i < 4;++i)
53     {
54         cout << "塔"<<i<<": ";
55         if (!S[i]->IsEmpty())
56         {
57             cout << *S[i];
58         }
59         cout << endl;
60     }
61     
62 }
63 #endif

 

运行：

 1 // Hanoi.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
 2 //
 3 
 4 #include "stdafx.h"
 5 #include<iostream>
 6 #include "Hanoiclass.h"
 7 using std::cout;
 8 using std::cin;
 9 
10 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
11 {
12     TowersOfHanoi(3);
13     system("pause");
14     return 0;
15 }

 

输出：