【时间复杂度常见的计算】

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前言

对于判断一段代码的好坏，取决于该代码运行的时间与占用的空间，也就是时间复杂度与空间复杂度，本章就先讲一下时间复杂度，主要包含常见的时间复杂度的计算。

一、时间复杂度是什么？

时间复杂度是衡量算法运行效率的一个重要指标，它表示随着输入规模的增长，算法执行时间的增长趋势。以下是关于时间复杂度的计算方法与常见的时间复杂度：

二、时间复杂度的计算

1.基本步骤

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• (1) 确定算法中的基本操作，通常是一些最主要的运算或操作步骤。
• (2) 计算基础操作执行的次数，并将其表示为输入规模 n 的函数T(n).
• (3) 忽略T(n)中的低阶项和常数因子，只保留最高项。例如，对于函数T(n)=3nn+5n+2，忽略5n和2，只关注3nn。
• (4) 用大O记号来表示时间复杂度，如O(n*n)。

2.常见的时间复杂度

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1.常数阶O(1)
无论输入规模如何变化，算法执行的时间都是一个常数。例如，直接访问数组中的一个元素，时间复杂度为
O(1)。
总的来说：代码中只是进行了简单的加法运算，不随输入规模变化，执行时间恒定。
注意：简单说一下哈希表也是O(1)。

int add(int x,int y)
{
return a+b;
}

2.对数阶 O(log n)：
算法的执行时间与输入规模的对数成正比。常见于二分查找等算法，每次操作都能将问题规模缩小一半。
例如 二分查找

int towfen(int x,int low,int high)
{
	while(low<high)
	{
		int m=low+(high-low)/2;
		if(a[m]==x)return 1;
		else if(a[m]>x)
		{
			high=m;
		}
		else
		{
			low=m+1;
		}
	}
	return 0;
}

其主要思想就是折半查找，假设有个数组{1，2，3，4，5，6，7，8，9}
要查找的元素为3，则此时的m=5，而3小于当下标为5时的数，以此只需要查找一半，每次都减少一半，直到最后找到。

3.线性阶 O(n)
算法的执行时间与输入规模 n 成正比。如上述示例中对列表元素进行求和的操作，时间复杂度为 O(n)。
简单举例

int sum(int n)
{
	int s=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	s+=i;//一共循环了n次
	return s;
	}

4.线性对数阶 O(nlog n)
通常出现在一些分治算法中，如归并排序、快速排序等。这类算法将问题分成多个子问题，每个子问题的规模是原问题的一部分，然后对这些子问题分别进行处理。
就以快排的例子来说：

void quike_sort(int low,int high)
{
	if(low>=high)
	return ;
	int mid=rand()%(high-low)+low;//随机取个中间数
	int l=low,i;
	int x1=0,x2=0,x3=0;
	for(i=low;i<high;i++)
	{
		if(a[i]>a[mid])//大于所取的数存入b数组
		{
			b[x1++]=a[i];
		}
		else if(a[i]==a[mid])//把等于所取的数放入c数组
		{
			c[x2++]=a[i];
		}
		else//把小于所取的数放入d数组
		{
			d[x3++]=a[i];
		}
	}
	for(i=0;i<x3;i++)
	{
		a[l++]=d[i];
	}
	for(i=0;i<x2;i++)
	{
		a[l++]=c[i];
	}
	for(i=0;i<x1;i++)
	{
		a[l++]=b[i];
	}//对其进行合并
	quike_sort(low,low+x3);//再次进入递归将左边的数组排好顺序
	quike_sort(low+x3+x2,high);//同理排序右边数组
}

5.平方阶 O(n^2)：
常见于一些嵌套循环的算法中。例如，冒泡排序、选择排序等，它们需要对数据进行多次遍历和比较，时间复杂度为 O(n^2)。
代码如下

void qsort(ll n)
{
	ll m[n];
	for(int i=0;i<n;i++)
	cin>>m[i];
	for(int i=0;i<n;i++)
	for(int j=i+1;j<n;j++)
	{
	if(m[i]>m[j])
	{
	int t=m[i];
	m[i]=m[j];
	m[j]=t;
	}
	}
}

6.立方阶 O(n^3)
一般出现在三层嵌套循环的算法中。例如，计算两个 n*n 矩阵的乘法，时间复杂度为 O(n^3)。

for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
for(int k=1;k<=n;k++)
cout<<"1"<<endl;

7.指数阶 O(2^n)
当算法的时间复杂度为指数阶时，随着输入规模 n 的增加，算法的执行时间会呈指数级增长。例如，计算斐波那契数列的递归算法，时间复杂度为 O(2^n)，这种算法在实际应用中效率较低，只适用于小规模问题。

#include 

// 递归函数计算斐波那契数列的第 n 项
int fibonacci(int n) {
    if (n <= 1) {
        return n;
    }
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

该递归算法的时间复杂度是 (O(2^n))，因为在每一步递归中，问题会被分解成两个子问题，并且没有对重复子问题进行优化，所以时间复杂度会呈指数级增长。

总结

总而言之，该篇文章就是简单的介绍了一下时间复杂度，仅仅是自己的粗鄙的看法，本人也是第一次接触这些东西，就想着发一篇文章来加深一下自己的理解，新人小白一枚，大佬勿喷，有理解错的地方希望能给小弟提点一下