软件设计师之树与二叉树：非线性数据结构的深度探索

软件设计师之树与二叉树：非线性数据结构的深度探索

在软件开发领域，数据结构是程序设计的核心基础，其中树和二叉树作为重要的非线性数据结构，在众多场景中都有着广泛应用。我写这篇博客，就是希望和大家一起学习进步，深入解析树和二叉树的相关知识，用通俗易懂的语言结合图表和Java代码示例进行讲解，帮助大家更好地掌握这些内容。

一、树的定义与基本概念

树的定义

树是由n（n≥0）个结点组成的有限集合。当n=0时，为空树；当n>0时，有且仅有一个根结点，其余结点可分为m（m≥0）个互不相交的有限子集，这些子集本身也是树，被称为根结点的子树 。树的定义具有递归特性，就像现实生活中家族的族谱，家族由多个分支家庭组成，每个家庭又可以继续细分。

树的基本概念

1. 双亲、孩子和兄弟：结点的子树的根是该结点的孩子，该结点则是孩子的双亲，具有相同双亲的结点互为兄弟。例如在一个公司组织架构树中，部门经理是下属员工的双亲，员工之间互为兄弟 。
2. 结点的度：一个结点的子树个数就是该结点的度。如在以项目管理为背景的树结构中，项目负责人管理多个子项目，其度就是子项目的数量 。
3. 叶子结点：度为0的结点就是叶子结点，它没有子树。就像文件系统中的文件，是树结构的末端 。
4. 内部结点：度不为0的结点，除根结点外也叫内部结点。比如文件夹，它包含子文件夹或文件，是内部结点 。
5. 结点的层次：根结点在第一层，根的孩子在第二层，依此类推。就像家族族谱中，第一代长辈在第一层，第二代晚辈在第二层 。
6. 树的高度：树的最大层数就是树的高度。例如一个有5层的文件夹嵌套结构，其高度就是5 。
7. 有序树和无序树：若树中结点的子树有顺序之分，不能交换，就是有序树；反之则是无序树。比如一个任务优先级的树结构，优先级高的子树在左边，就是有序树 。

二、二叉树的定义、性质与存储结构

二叉树的定义

二叉树是n（n≥0）个结点的有限集合，它要么是空树，要么由一个根结点和两棵不相交的左、右子树组成。与普通树不同，二叉树中结点的子树要明确区分左子树和右子树，且结点最大度为2 。

二叉树的性质

1. 第i层的结点数：二叉树第i（i≥1）层上最多有$2^{i-1}$个结点。可以想象成第一层有1个结点（$2^{1-1}=1$），第二层有2个结点（$2^{2-1}=2$），第三层有4个结点（$2^{3-1}=4$），以此类推 。
2. 高度为k的二叉树的结点数：高度为k（k≥1）的二叉树最多有 2 k − 1 2^{k} - 1 2