机器人的位姿变换左乘与右乘

对于机器人位姿变换，将变化量（变换矩阵）乘在当前位姿的左边和右边并不是完全一样的，它们的物理意义不同。具体效果取决于你要实现的操作——是相对于全局坐标系变换，还是相对于局部坐标系变换。

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左乘与右乘的区别

1. 右乘（Local Transformation, 局部变换）

• 右乘表示在当前坐标系下应用变化量。
• 即变化量是在当前位姿（局部坐标系）中定义的。

公式表示：
$$T_{\text{new}}=T_{\text{current}}\cdot \Delta T$$

• $T_{\text{current}}$：当前的位姿。
• $\Delta T$：变化量（在当前坐标系下）。

意义：
右乘表示变化量是相对于当前机器人自身的方向和位置的。例如：

• 如果机器人向前移动 1 米，这个“向前”是基于当前朝向。

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2. 左乘（Global Transformation, 全局变换）

• 左乘表示在全局坐标系下应用变化量。
• 即变化量是在全局坐标系中定义的。

公式表示：
$$T_{\text{new}}=\Delta T\cdot T_{\text{current}}$$

• ( \Delta T )：变化量（在全局坐标系下）。
• ( T_{\text{current}} )：当前的位姿。

意义：
左乘表示变化量是相对于全局坐标系的。例如：

• 如果全局坐标系中定义了一个固定的移动方向和距离（如沿世界坐标系 X 轴平移 1 米），那么无论机器人当前朝向如何，它都执行全局的变换。

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几何直观理解

假设机器人当前的位姿 ( T_{\text{current}} ) 是：
$$T_{\text{current}}=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right]$$

右乘：局部变换

$$T_{\text{new}}=T_{\text{current}}\cdot \Delta T$$

• 变化量 ( \Delta T ) 是基于机器人当前坐标系的。
• 旋转或平移的效果依赖于机器人当前的朝向和位置。

左乘：全局变换

[
T_{\text{new}} = \Delta T \cdot T_{\text{current}}
]

• 变化量 ( \Delta T ) 是基于全局坐标系的。
• 旋转或平移的效果依赖于全局坐标系的方向，而与机器人的当前姿态无关。

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示例分析

假设当前位姿 ( T_{\text{current}} )：
T current = [ 1 0 0 5 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] T_{\text{current}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Tcurrent​= ​1000​0100​0010​5001​ ​
表示机器人位于 ( (5, 0, 0) )，面向 ( X ) 轴方向。

变化量 ( \Delta T ) 是沿 ( X ) 轴移动 3 米：
Δ T = [ 1 0 0 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] \Delta T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ΔT= ​1000​0100​0010​3001​ ​

右乘：局部坐标系变换

T new = T current ⋅ Δ T = [ 1 0 0 5 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] ⋅ [ 1 0 0 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] ⋅ = [ 1 0 0 8 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] T_{\text{new}} = T_{\text{current}} \cdot \Delta T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Tnew​=Tcurrent​⋅ΔT= ​1000​0100​0010​5001​ ​⋅ ​1000​0100​0010​3001​ ​⋅= ​1000​0100​0010​8001​ ​
结果：机器人移动到了 ( (8, 0, 0) )。

左乘：全局坐标系变换

T new = Δ T ⋅ T current = [ 1 0 0 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] ⋅ [ 1 0 0 5 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] ⋅ = [ 1 0 0 8 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] T_{\text{new}} = \Delta T \cdot T_{\text{current}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Tnew​=ΔT⋅Tcurrent​= ​1000​0100​0010​3001​ ​⋅ ​1000​0100​0010​5001​ ​⋅= ​1000​0100​0010​8001​ ​

结果：同样移动到了 ( (8, 0, 0) )。

此时效果看似一致，但这仅适用于纯平移。在旋转的情况下，结果会明显不同。

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旋转时的区别

假设变化量 ( \Delta T ) 是绕 ( Z ) 轴旋转 90 度：
Δ T = [ 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] \Delta T = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ΔT= ​0100​−1000​0010​0001​ ​

右乘（局部旋转）

$$T_{\text{new}}=T_{\text{current}}\cdot \Delta T$$

• 表示机器人在其当前坐标系中绕 ( Z ) 轴旋转 90 度。

左乘（全局旋转）

$$T_{\text{new}}=\Delta T\cdot T_{\text{current}}$$

• 表示机器人在全局坐标系中绕全局的 ( Z ) 轴旋转 90 度。

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总结

• 右乘（局部变换）： 用于机器人在自身参考系中移动或旋转。
• 左乘（全局变换）： 用于机器人基于全局参考系进行移动或旋转。

根据场景选择合适的乘法顺序是关键：

• 若变化量是相对于全局定义的，用左乘。
• 若变化量是相对于当前姿态定义的，用右乘。