### 解决《下降路径最小和》问题详解

 

 

#### 题目描述

给定一个 `n x n` 的方形整数数组 `matrix`，找到从第一行任意元素开始，每一步移动到下一行相邻列（正下方、左下或右下）的路径，使得路径和最小。

 

#### 方法思路

**动态规划**：从倒数第二行开始逐层向上计算每个位置的最小路径和。每个位置的最小和等于当前值加上下一行相邻三个元素的最小值。最终，第一行的最小值即为答案。

 

#### 代码实现

```java

import java.util.Scanner;

 

public class Main {

    public static void main(String[] args) {

        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        int n = sc.nextInt();

        int[][] matrix = new int[n][n];

        for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {

            for (int j = 0; j < matrix[i].length; j++) {

                matrix[i][j] = sc.nextInt();

            }

        }

        System.out.println(minFallingPathSum(matrix));

    }

 

    public static int minFallingPathSum(int[][] matrix) {

        int n = matrix.length;

        // 从倒数第二行开始向上递推

        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {

            for (int j = 0; j < n; j++) {

                int current = matrix[i][j];

                // 处理边界，用三元运算符避免越界

                int left = (j > 0) ? matrix[i + 1][j - 1] : Integer.MAX_VALUE;

                int mid = matrix[i + 1][j];

                int right = (j < n - 1) ? matrix[i + 1][j + 1] : Integer.MAX_VALUE;

                // 更新当前值的最小路径和

                matrix[i][j] = current + Math.min(left, Math.min(mid, right));

            }

        }

        // 遍历第一行找最小值

        int minSum = Integer.MAX_VALUE;

        for (int num : matrix[0]) {

            minSum = Math.min(minSum, num);

        }

        return minSum;

    }

}

```

 

#### 新知识点解析

1. **三元运算符**：  

   用于简化条件判断，如 `int left = (j > 0) ? ... : ...`，避免了局部变量的复杂判断，代码更简洁。

 

2. **边界处理**：  

   当处理首列或末列时，通过 `Integer.MAX_VALUE` 标记无效路径，确保取最小值时自动排除越界情况。

 

3. **原地修改数组**：  

   动态规划直接修改原数组，节省空间复杂度。由于计算顺序是从下到上，不会覆盖未处理的值。

 

#### 常见错误点

 

- **数组越界**：处理列边界时需用三元运算符严谨判断，避免访问 `j-1` 或 `j+1` 越界。

 

#### 复杂度分析

- **时间复杂度**：O(n²)，遍历每个元素一次。

- **空间复杂度**：O(1)，直接在原数组上修改。

 

通过逐层递推和合理处理边界，能够高效求解下降路径的最小和。