软件设计师之动态规划与贪心算法：原理及应用详解

软件设计师之动态规划与贪心算法：原理及应用详解

大家好！在软件开发的学习和实践中，算法设计是非常重要的环节。今天咱们一起深入探讨动态规划法和贪心法这两种常见的算法设计技术，希望在交流中共同进步，更好地掌握它们的原理和应用。

一、动态规划法

（一）基本思想

动态规划法将复杂问题分解为一系列相互关联的子问题，通过求解子问题并保存结果，避免重复计算，从而高效地解决原问题。它适用于具有最优子结构和重叠子问题特性的问题。

动态规划算法的设计通常包含以下步骤：

1. 分析最优解结构：确定问题的最优解包含哪些子问题的最优解，这是动态规划法的基础。
2. 递归定义最优解：基于最优解结构，建立递归公式来描述最优解的值。
3. 自底向上计算：从最小的子问题开始，逐步计算并保存结果，最终得到原问题的最优解。
4. 构造最优解（可选）：如果需要得到具体的最优解，根据计算过程中保存的信息进行构造。

（二）0 - 1背包问题实例

1. 问题描述：有(n)个物品，每个物品有价值(v_i)和重量(w_i)，背包容量为(W)，目标是选择物品放入背包，使总价值最大，且物品要么放入（(x_i = 1)），要么不放入（(x_i = 0)）。
2. 求解步骤
   • 刻画最优解结构：若最优解包含物品(n)，则其余物品构成子问题在容量为(W - w_n)时的最优解；若不包含物品(n)，则其余物品构成子问题在容量为(W)时的最优解。
   • 递归定义最优解的值：设(c[i, w])表示背包容量为(w)时(i)个物品的最优解总价值，递归公式为：
     [c[i, w]= \begin{cases}0 &, i=0 或 w=0 \ c[i - 1, w] &, w_{i}>w \ max \left{c\left[i - 1, w - w_{i}\right]+v_{i}, c[i - 1, w]\right} &, i>0 且 w_{i} \leq w\end{cases}]
   • 计算最优解的值：

public class Knapsack {
   
    public static int knapsackDP(int n, int W, int[] weights, int[] values) {
   
        int[][] c = new int[n + 1][W + 1];

        // 初始化
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
   
            c[i][0] = 0;
        }
        for (int w = 0; w <= W; w++) {
   
            c[0][w] = 0;
        }

        // 自底向上计算
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
   
            for (int w = 1; w <= W; w++) {
   
                if (weights[i - 1] <= w) {
   
                    c[i][w] = Math.max(values[i - 1] + c[i - 1][w - weights[i - 1]], c[i - 1][w]);
                } else {
   
                    c[i][w] = c[i - 1][w];
                }
            }
        }
        return c[n]<