深入解析力扣39.组合总和：回溯算法的妙用

题目描述

给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标值 target，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。数组中的数字可以被重复使用。

示例：

输入: candidates = [2,3,6,7], target = 7
输出: [[2,2,3],[7]]

代码解析

class Solution {
    // 记录当前的组合路径
    public List path = new ArrayList<>();
    // 存储所有符合条件的组合结果
    public List> ans = new ArrayList<>();
    
    public List> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        // 先排序，方便后续剪枝
        Arrays.sort(candidates);
        // 调用回溯函数，从索引0开始
        dfs(candidates, 0, target, 0);
        return ans;
    }
    
    public void dfs(int[] candidates, int sum, int target, int i) {
        // 当路径和等于目标值时，将当前路径加入结果集
        if (sum == target) {
            ans.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        
        // 遍历候选数组，从索引 i 开始，保证组合不重复
        for (int j = i; j < candidates.length; j++) {
            // 剪枝：如果当前元素加入后超过目标值，则终止循环
            if (sum + candidates[j] > target) {
                break;
            }
            
            // 选择当前元素
            sum += candidates[j];
            path.add(candidates[j]);
            
            // 递归调用，继续尝试选择当前元素（允许重复使用）
            dfs(candidates, sum, target, j);
            
            // 回溯：撤销当前选择，恢复 sum 和 path 状态
            path.remove(path.size() - 1);
            sum -= candidates[j];
        }
    }
}

代码详解

1. 全局变量

   • path 用于存储当前的组合路径。

   • ans 用于存储所有满足条件的组合。

2. 排序

   • Arrays.sort(candidates); 使数组有序，方便后续剪枝。

3. 深度优先搜索（DFS）

   • sum 记录当前路径和。

   • i 控制遍历起点，确保组合不重复。

   • 若 sum == target，将当前 path 加入 ans。

   • 剪枝：若 sum + candidates[j] > target，提前终止循环。

   • 递归时，j 位置不变，允许重复使用当前数字。

   • 回溯时，撤销选择，保证 sum 还原。

复杂度分析

• 时间复杂度：最坏情况下，递归树的深度为 target/min(candidates)，每层最多 n 个分支，时间复杂度约为 O(n^k)。

• 空间复杂度：O(k)，k 为递归深度。

优化

1. 剪枝：提前排序并在 sum + candidates[j] > target 时终止循环。

2. 回溯优化：sum 变量直接参与递归，减少重复计算。

注意

下面是一些需要特别留意的地方：

1. 排序与剪枝：
   排序操作有助于剪枝，因为排序后如果当前路径和 sum 加上某个候选数超过了 target，可以直接终止循环，避免不必要的计算。这种优化能显著提高效率。

2. 重复元素问题：
   虽然题目给定的是“无重复元素的数组”，但我们仍然要小心避免不同的组合产生重复结果。在回溯中通过从当前位置 i 开始递归，可以确保每个组合只出现一次。

3. 回溯时的恢复：
   在回溯过程中，每次选择一个数字后都要撤销该选择（即 path.remove 和 sum -= candidates[j]）。这一步是保证回溯算法能够正常工作的关键，因为它允许探索所有可能的路径。