【C++游戏引擎开发】《几何算法》（1）：数学基础与射线相交检测

引言：为什么需要射线相交检测？

在计算机图形学、游戏开发和三维建模领域，​射线相交检测​（Ray Intersection Testing）是实现诸多核心功能的基础。无论是玩家的子弹命中判定、3D建模软件的物体选取，还是光线追踪中的光线路径计算，都需要快速判断射线与几何体是否相交。本文将深入浅出地解析其数学基础，并探讨常见几何体的相交检测方法。

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一、数学基础概念

1.1 射线的数学表示

射线由起点​（Origin）和方向​（Direction）定义，参数化方程为：
$$\mathbf{R}(t)=\mathbf{O}+t\mathbf{D}(t\ge 0)$$
其中 $\mathbf{O}$ 是起点坐标，$\mathbf{D}$ 是单位方向向量，$t$ 表示沿射线方向的延伸距离。

1.2 关键向量运算

• ​点积（Dot Product）​：$\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|\cos \theta$，用于投影计算和角度判断。
• ​叉积（Cross Product）​：$\mathbf{A}\times \mathbf{B}$ 生成垂直于两向量的法向量，在平面相交判定中起关键作用。

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二、常见几何体的相交检测

2.1 射线与球体相交

球体方程：$$(x-c_x{)}^2+(y-c_y{)}^2+(z-c_z{)}^2=r^2$$
将射线方程代入后展开，得到关于 $t$ 的二次方程：
$$t^2(\mathbf{D}\cdot \mathbf{D})+2t\mathbf{D}\cdot (\mathbf{O}-\mathbf{C})+(\mathbf{O}-\mathbf{C})\cdot (\mathbf{O}-\mathbf{C})-r^2=0$$
通过判别式 $\Delta =b^2-4ac$ 判断相交情况：

• $\Delta >0$：两个交点&#x