算法-二进制和位运算

一.二进制

（1）.无符号数：

无符号数是一种数据表示方式，它只表示非负整数，即没有符号位，所有的位都用来表示数值大小。在 C++ 等编程语言中，常见的无符号类型有 unsigned int、unsigned char 等。例如，一个 8 位的无符号整数 unsigned char 可以表示范围为 0 到 255 的整数，而不像有符号的 char 可以表示 -128 到 127 的范围。

对于一个无符号整数，可以使用除 2 取余法手动将其转换为二进制表示。以下是一个简单的 C++ 示例：

#include 
#include 

std::string binaryRepresentation(unsigned int num) {
    std::string binaryStr;
    while (num > 0) {
        binaryStr = std::to_string(num % 2) + binaryStr;
        num /= 2;
    }
    return binaryStr;
}

int main() {
    unsigned int num = 10;
    std::string binary = binaryRepresentation(num);
    std::cout << binary << std::endl;  // 输出 "1010"
    return 0;
}

(2).有符号数：

计算机中一般利用补码表示法：

• 对于正数，其补码与原码相同。
• 对于负数，补码是在反码的基础上加 1。
• 例如，对于一个 8 位的有符号整数：
  • +5 的补码表示为 00000101（与原码相同）。
  • -5 的补码
  • 表示为 11111011（反码 11111010 加 1）。

对于一个使用补码表示的有符号二进制数，将其转换为十进制数的步骤如下：

1. 判断正负：

   • 首先，观察补码的最高位（符号位）。如果最高位为 0，则该数为正数，直接将补码转换为十进制即可。
   • 如果最高位为 1，则该数为负数，需要先将补码转换为原码，再将原码转换为十进制。

2. 正数的转换（原码和补码相同）：

   • 对于正数，直接将二进制数按权展开求和，即从右到左用二进制位上的数字乘以 （ 从  开始，从右向左递增），然后将结果相加。
   • 例如，对于 8 位补码表示的正数 01011010，转换为十进制为：
     • 。

3. 负数的转换（从补码到原码）：

   • 对于负数，先对补码取反（包括符号位），然后加 1，得到原码。
   • 再将原码按权展开求和，最后加上负号。
   • 例如，对于 8 位补码表示的负数 10101101：
     • 先取反得到 01010010。
     • 再加 1 得到原码 01010011。
     • 转换为十进制为：-(0x27+1x2+0x25+1x24+0x23+0x22+1x21+1x2)=-83

二.位运算

位运算符是一种操作二进制位的运算符，它们直接对操作数的二进制表示进行操作。在大多数编程语言中，常见的位运算符包括：按位与（&）、按位或（|）、按位异或（^）、按位取反（~）、左移（<<）和右移（>>）。这些运算符通常用于对整数类型的数据进行操作，因为整数在计算机中是以二进制形式存储的。

（1）按位与&

• 按位与运算符 & 对两个操作数的每个二进制位进行逻辑与操作。如果两个相应的二进制位都为 1，则结果为 1；否则，结果为 0。
• 示例(C++)：

• #include 
  using namespace std;
  
  int main() {
      int a = 5;  // 二进制表示为 0101
      int b = 3;  // 二进制表示为 0011
      int result = a & b;  // 结果为 0001，即十进制的 1
      cout << result << endl;  // 输出 1
      return 0;
  }

  （2）按位或|

• • 按位或运算符 | 对两个操作数的每个二进制位进行逻辑或操作。如果两个相应的二进制位中至少有一个为 1，则结果为 1；否则，结果为 0。
• 示例（C++）：

• #include 
  using namespace std;
  
  int main() {
      int a = 5;  // 二进制表示为 0101
      int b = 3;  // 二进制表示为 0011
      int result = a | b;  // 结果为 0111，即十进制的 7
      cout << result << endl;  // 输出 7
      return 0;
  }

  （3）按位异或^

• 按位异或运算符 ^ 对两个操作数的每个二进制位进行逻辑异或操作。如果两个相应的二进制位不同，则结果为 1；如果相同，则结果为 0。
• 示例（C++）：

• #include 
  using namespace std;
  
  int main() {
      int a = 5;  // 二进制表示为 0101
      int b = 3;  // 二进制表示为 0011
      int result = a ^ b;  // 结果为 0110，即十进制的 6
      cout << result << endl;  // 输出 6
  }

  (4).按位取反~

• • 按位取反运算符 ~ 对操作数的每个二进制位取反，即 0 变为 1，1 变为 0。
• 示例（C++）：

• #include 
  using namespace std;
  
  int main() {
      int a = 5;  // 二进制表示为 0101
      int result = ~a;  // 结果为 1010，即十进制的 -6
      cout << result << endl;  // 输出 -6
      return 0;
  }

(5)左移<<

• 功能：
  • 左移运算符 << 将左操作数的二进制表示向左移动右操作数指定的位数。右侧空出的位用 0 填充。
• 示例（C++）：

• #include 
  using namespace std;
  
  int main() {
      int a = 5;  // 二进制表示为 0101
      int result = a << 2;  // 结果为 010100，即十进制的 20
      cout << result << endl;  // 输出 20
      return 0;
  }

  (6)右移>>

• 功能：
  • 右移运算符 >> 将左操作数的二进制表示向右移动右操作数指定的位数。对于无符号整数，左侧空出的位用 0 填充；对于有符号整数，根据不同的编程语言和机器，可能用符号位填充（算术右移）或用 0 填充（逻辑右移）。
• 示例（C++）：

• #include 
  using namespace std;
  
  int main() {
      int a = 5;  // 二进制表示为 0101
      int result = a >> 1;  // 结果为 0010，即十进制的 2
      cout << result << endl;  // 输出 2
      return 0;
  }