回文串问题------动态规划

一个字符串，如果从左到右读和从右到左读是完全一样的，比如"aba"，我们称其为回文串。现在给你一个字符串，可在任意位置添加字符，求最少添加几个字符，才能使其变成一个回文串。

输入格式:

任意给定的一个字符串，其长度不超过1000.

输出格式:

能变成回文串所需添加的最少字符数。

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

Ab3bd

Abb

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

2

1

 

动态规划解法

状态定义

• dp[i][j] 表示将子串 s[i..j]（包含 i 和 j）变成回文串所需的最少添加字符数。

转移方程

• 如果 s[i]=s[j]：
  • 两端字符已匹配，直接看内层子串：dp[i][j]=dp[i+1][j−1]。
• 如果 s[i]≠s[j]：
  • 可以在 i 端添加 s[j]，使 i 匹配 j，然后处理 s[i+1..j]：dp[i][j]=dp[i+1][j]+1；
  • 或者在 j 端添加 s[i]，使 j 匹配 i，然后处理 s[i..j−1]：dp[i][j]=dp[i][j−1]+1；
  • 取最小值：dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j−1])+1。

初始条件

• dp[i][i]=0（单个字符已是回文）。
• dp[i][i−1]=0（空串是回文，方便边界处理）。

目标

• dp[0][n−1]，其中 n 是字符串长度。

举例说明：

 s="Ab3bd"

1.计算长度为 1 的子串（初始条件） 

• dp[0][0]=0（"A" 是回文）
• dp[1][1]=0（"b"）
• dp[2][2]=0（"3"）
• dp[3][3]=0（"b"）
• dp[4][4]=0（"d"）

 2.计算长度为 2 的子串

• dp[0][1]="Ab"=1
• dp[1][2]="b3"=1
• dp[2][3]="3b"=1
• dp[3][4]="bd"=1

 3.计算长度为 3 的子串

• dp[0][2]="Ab3"：

s[0]=′A′，s[2]=′3′，不相等。

dp[1][2]=1（"b3"），dp[0][1]=1（"Ab"）。

dp[0][2]=min⁡(dp[1][2],dp[0][1])+1=min⁡(1,1)+1=2。

•  dp[1][3]="b3b"
• dp[2][4]="3bd"

4. 计算长度为 4 的子串

• dp[0][3]="Ab3b"
• dp[1][4]="b3bd"

5.最后就是计算整个字符串的长度

#include
using namespace std;
int main()
{
	string s;
	while(cin>>s)
	{
		int n=s.length();
		int dp[n][n]={0};
		//从短到长开始记录子问题结果,先从长度为 2 的子串开始计算 
		for(int len=2;len<=n;len++)
		{
			for(int i=0;i+len-1

 希望在加深俺记忆理解的同时也能帮助到各位同志，新手小白练手，若有不对之处欢迎评论区留言，谢谢！