AcWing 12：背包问题求具体方案 ← 0-1背包

【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/12/

【题目描述】
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出字典序最小的方案。这里的字典序是指：所选物品的编号所构成的序列。物品的编号范围是 1…N。

【输入格式】
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

【输出格式】
输出一行，包含若干个用空格隔开的整数，表示最优解中所选物品的编号序列，且该编号序列的字典序最小。
物品编号范围是 1…N。

【数据范围】
0 0
【输入样例】
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6

【输出样例】
1 4

【算法分析】
● 在 ‌0-1背包问题‌ 中，如果我们希望‌按字典序输出方案‌（即优先选择编号小的物品），通常需要‌逆序遍历物品‌（从 N 到 1）进行动态规划，然后再‌正序遍历‌（从 1 到 N）回溯方案。
这是因为，逆序（N→1）计算 dp[i][j] 时，dp[i][j] 依赖于 dp[i+1][j] 和 dp[i+1][j-w[i]]。
‌回溯时（1→N）‌，如果 dp[i][j] == dp[i+1][j-w[i]] + v[i]，说明 ‌第 i 个物品可以选‌。‌优先选编号小的物品‌（因为 i 从小到大遍历），保证字典序最小。

【算法代码】

#include 
using namespace std;

const int maxn=1e3+5;
int vol[maxn],val[maxn];
int f[maxn][maxn];
int path[maxn];
int cnt;
int n,v;

int main() {
    cin>>n>>v;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        cin>>vol[i]>>val[i];
    }

    for(int i=n; i>=1; i--) {
        for(int j=0; j<=v; j++) {
            f[i][j]=f[i+1][j];
            if(j>=vol[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i+1][j-vol[i]]+val[i]);
        }
    }

    for(int i=1,j=v; i<=n; i++) {
        if(j>=vol[i] && f[i][j]==f[i+1][j-vol[i]]+val[i]) {
            path[cnt++]=i;
            j-=vol[i];
        }
    }

    for(int i=0; i

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/126067759
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/147326357
https://www.acwing.com/problem/content/solution/12/1/
https://www.acwing.com/solution/content/54306/