字符串哈希

---

注意（Warning）

本文章内所有有关字符串下标的，统一都从 $1$ 开始算起。

---

定义

字符串哈希其实就是把一段字符串转化成一个数字。
在进行字符串匹配时不需要再 $O(strlen(s))$ 匹配字符串本身，而只需要匹配两个字符串的哈希值就好了。

---

字符串哈希值计算

对于一个字符串 $s$ ，定义它的哈希值为：

$$f(s)=\sum _{i=1}^{l}s[i]\ast p^{l-i}$$

即：

$$f(s)=s[1]\ast p^{l-1}+s[2]\ast p^{l-2}+\cdots +s[l]\ast p^0$$

其中，
$p$ 是一个质数，
$l$ 是字符串长度，
$s[i]$ 转化为它在 $ASCII$ 码对应的数值。
举个例子：字符串 “$abc$” 的哈希值为：$a\ast p^2+b\ast p+c$。

---

字符串前缀哈希值算

在代码中，我们会用到字符串的前缀的哈希值（至于为什么等会会说），
因此我们用 $hush[i]$ 表示字符串 $s[1\dots i]$ 的哈希值。

例如一个字符串 $s_1{s}_2{s}_3{s}_4{s}_5$，
$hush[1]=s_1$，
$hush[2]=s_1\ast p+s_2$，
$hush[3]=s_1\ast p^2+s_2\ast p+s_3$，
$hush[4]=s_1\ast p^3+s_2\ast p^2+s_3\ast p+s_4$，
$hush[5]=s_1\ast p^4+s_2\ast p^3+s_3\ast p^2+s_4\ast p+s_5$.
那么就可以得到这样一个公式：
$$hush[i]=hush[i-1]\ast p+s[i]$$
当然 $hush[i]$ 有可能溢出，所以再对一个数 $mod$ (最好是素数) 取模就好了。

---

子串哈希值计算

在字符串匹配中，我们实际上用的是模式串的哈希值与主串的子串的哈希值进行比对。

因此，在比对过程中我们不能再对子串进行哈希值计算，因为这样合暴力匹配原串的复杂度一样。

这时前缀哈希值就派上用场了。

依旧拿上面的例子

$eg1:$
要求 $s_3{s}_4$ 的哈希值，它显然是 $s_3\ast p+s_4$，
现在看如何用前缀哈希值来算。

从感觉上讲，这有点像前缀和，所以考虑如何用 $hush[4]$ 和 $hush[3-1]$ 算出他。
$hush[3-1=2]=s_1\ast p+s_2$，
$hush[4]=s_1\ast p^3+s_2\ast p^2+s_3\ast p+s_4$。
貌似确实可以，只需要用 $hush[4]-hush[3-1]\ast p^2$ 即可得到。

$eg2:$
求 $s_2{s}_3{s}_4$ 的哈希值，是 $s_2\ast p^2+s_3\ast p+s_4$，
$hush[2-1=1]=s_1$，
$hush[4]=s_1\ast p^3+s_2\ast p^2+s_3\ast p+s_4$。
可以用 $hush[4]-hush[2-1]\ast p^{4-2+1=3}$ 算出来。

整体可以发现，
如果要算 $s[l\dots r]$ 的哈希值，
那么 $hush[r]$ 就包含了所有要计算的部分，
但是还多了 $s[1]\ast p^{r-1}+s[2]\ast p^{r-2}+\cdots +s[l-1]\ast p^{r-l+1}$ 一部分，
而 $hush[l-1]=s[1]\ast p^{l-2}+s[2]\ast p^{l-3}+\cdots +s[l-1]$，
发现只需要给 $hush[l-1]$ 乘以 $p^{r-l+1}$，就可以得到多出的那一部分，
再用 $hush[r]$ 减去就可以了。
但由于取模的存在，以上这个式子还要取模。

综上可得：要计算 $s[l\dots r]$ 的哈希值就用：
$((hush[r]-hush[l-1]\ast p^{r-l+1})\%mod+mod)\%mod$ $O(1)$ 算出。

注：之所以这么写是因为 $hush[r]$ 和 $hush[l-1]$ 都是已经被取模过的，也就是说
      \space\space\space\space\space       $hush[r]-hush[l-1]\ast p^{r-l+1}$ 可能小于 $0$，只有这样才能保证子串哈希值是正的。

如此一来，计算字串的哈希值就轻而易举了。

---

双值哈希

双值哈希是为了解决哈希冲突而设计的。

简单来说，就是取两个 $p$，两个 $mod$，分别对字符串进行哈希值的计算，
当且仅当两个哈希值相同时，两个字符串才相同。

更具体的：
$hush1[i]=hush1[i-1]\ast p1\%mod1$，
$hush2[i]=hush2[i-1]\ast p2\%mod2$，
要比较字符串 $str1$ $str2$，
当且仅当：
   \space\space    $str1$ 的 $hush1[strlen(str1)]$ 等于 $str2$ 的 $hush1[strlen(str2)]$ 且
   \space\space    $str1$ 的 $hush2[strlen(str1)]$ 等于 $str2$ 的 $hush2[strlen(str2)]$ 时，
两字符串相等。

这种双值哈希十分可靠，可以直接使用，而且不会被卡掉。

---

最后一些细节及优化

1. 在选定 $p$ 和 $mod$ 时，两者都最好选一个较大的质数，可以降低哈希的冲突率。
   在这里推荐 $p$ 取 $131$ 或 $1331$ 或 $1313131$，$mod$ 一般取 $23333333$。

2. 更为方便地，$mod$ 可以取 $2^{64}-1$，即 $unsignedlonglong$ 所能储存的最大
   值，然后将 $hush$ 数组开为 $unsignedlonglong$，这样就可以用 $unsignedlonglong$ 的自然溢出代替取模。

3. 如果有多个模式串，一个一个算它们的哈希值和暴力没什么区别。
   不如将他们都拼成一个总模式串，整体算一次，要用哪个模式串的哈希值时，直接
   用：
   $$((hush[pos[i]+strlen(t[i])-1]-hush[pos[i]-1]\ast p^{strlen(t[i])})\%mod+mod)\%mod$$
   其中，$t[i]$ 表示第 $i$ 个模式串，$pos[i]$ 表示第 $i$ 个模式串的第一个字符在总
   模式串中的下标。

4. 在计算 $p^{r-l+1}$ 时，可以用快速幂，也可以用一个数组 $pow{p}_i$ 预处理好 $p$
   的 $i$ 次方，注意别忘了取模。

---

关于字符串哈希会被卡掉

总而言之，最好用双值哈希。