历年CSP-S复赛真题解析 | 2018年T2 货币系统

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附上汇总贴：历年CSP-S复赛真题解析 | 汇总

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【题目来源】

洛谷：P5020 [NOIP 2018 提高组] 货币系统 - 洛谷 (luogu.com.cn)

【题目描述】

在网友的国度中共有 $n$ 种不同面额的货币，第 $i$ 种货币的面额为 $a[i]$，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 $n$、面额数组为 $a[\mathrm{1..}n]$ 的货币系统记作 $(n,a)$。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 $x$ 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 $x$，都存在 $n$ 个非负整数 $t[i]$ 满足 $a[i]\times t[i]$ 的和为 $x$。然而， 在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 $x$ 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 $n=3$, $a=[2,5,9]$ 中，金额 $1,3$ 就无法被表示出来。

两个货币系统 $(n,a)$ 和 $(m,b)$ 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 $x$，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 $(m,b)$，满足 $(m,b)$ 与原来的货币系统 $(n,a)$ 等价，且 $m$ 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 $m$。

【输入】

输入文件的第一行包含一个整数 $T$，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 $T$ 组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数 $n$。接下来一行包含 $n$ 个由空格隔开的正整数 $a[i]$。

【输出】

输出文件共有 $T$ 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 $(n,a)$ 等价的货币系统 $(m,b)$ 中，最小的 $m$。

【输入样例】

2 
4 
3 19 10 6 
5 
11 29 13 19 17 

【输出样例】

2   
5  

【算法标签】

《洛谷 P5020 货币系统》 #动态规划,dp# #数学# #贪心# #背包# #NOIP提高组# #2018#

【代码详解】

#include 
using namespace std;

int T, n, a[105], f[25005], ans;  // T: 测试用例数, n: 货币种类数, a: 货币面值数组
                                  // f: 动态规划数组, ans: 结果计数器

int main()
{
    // 输入测试用例数
    cin >> T;
  
    // 处理每个测试用例
    while (T--) {
        // 输入货币种类数
        cin >> n;
      
        // 输入货币面值
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> a[i];
      
        // 将货币面值排序（从小到大）
        sort(a + 1, a + n + 1);
      
        // 初始化动态规划数组（完全背包问题）
        memset(f, 0, sizeof(f));
        f[0] = 1;  // 金额为0时有一种方案（不选任何货币）
      
        // 完全背包动态规划处理
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = a[i]; j <= a[n]; j++) {
                f[j] = f[j] + f[j - a[i]];  // 状态转移方程
            }
        }
      
        // 统计不能被其他货币组合表示的面值数量
        ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) 
            if (f[a[i]] == 1)  // 如果该面值只能由自己表示（方案数为1）
                ans++;
      
        // 输出结果
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

【运行结果】

2 
4
3 19 10 6
2
5
11 29 13 19 17
5