【算法笔记】矩阵加速

原文链接

第一篇：矩阵快速幂模板

1.矩阵乘法基础

给定矩阵$A$($m\times n$)和$B$($n\times p$)，其乘积$C$($m\times p$)定义为：
$$C[i][j]=\sum _{k=1}^{n}A[i][k]\cdot B[k][j]$$

性质：

• 满足结合律：$(AB)C=A(BC)$
• 不满足交换律：$AB\ne BA$

2.矩阵快速幂实现

Matrix matrix_pow(Matrix a, long long k) {
    Matrix res(n);
    res.build_identity();
    while(k>0){
        if(k&1) res=res*a;
        a=a*a;
        k>>=1;
    }
    return res;
}

第二篇：斐波那契数列加速

1.递推关系

$$\left[\begin{array}{c}{F}_n\\ F_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{F}_{n-1}\\ F_{n-2}\end{array}\right]$$

展开得：
$$\left[\begin{array}{c}{F}_n\\ F_{n-1}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-2}\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$

2.核心代码

struct Matrix {
    int a[2][2];
    void build_base() {
        a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=1;
        a[1][1]=0;
    }
};

Matrix operator*(const Matrix &a, const Matrix &b) {
    Matrix c;
    for(int k=0;k<2;k++)
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++)
                c.a[i][j]=(c.a[i][j]+1LL*a.a[i][k]*b.a[k][j])%MOD;
    return c;
}

第三篇：斐波那契公约数

1.关键定理

$$\gcd (F_n,F_m)=F_{\gcd (n,m)}$$

2.实现步骤

1. 计算$d=\gcd (n,m)$
2. 求$F_d$：
   $$\left[\begin{array}{c}{F}_d\\ F_{d-1}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{d-2}\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$

3.代码实现

void solve() {
    long long n,m;
    cin>>n>>m;
    long long d=gcd(n,m);
    if(d<=2) cout<<1<<"\n";
    else {
        Matrix base;
        base.build_base();
        Matrix res=matrix_pow(base,d-2);
        cout<<(res.a[0][0]+res.a[0][1])%MOD<<"\n";
    }
}

复杂度分析

方法	时间复杂度
直接递推	$O(n)$
矩阵快速幂	$O(\log n)$

应用场景

1. 线性递推式加速
2. 动态规划优化
3. 图论中路径计数