算法设计与分析7（贪心算法）

Prim 算法（寻找最小生成树）

1. 用途：Prim 算法是一种贪心算法，用于在加权无向图中寻找最小生成树（MST），即能够连接图中所有顶点且边的权重之和最小的子图。
2. 基本思路：
   • 从图中任意一个顶点 v 开始，将其加入到最小生成树的顶点集合 S 中。
   • 不断从与 S 中顶点相邻的边中选择一条权重最小的边，将这条边连接的另一个顶点加入到 S 中。
   • 重复上述步骤，直到图中所有顶点都被加入到 S 中，此时得到的子图就是最小生成树。

Dijkstra 算法（所有点到一点的最短距离）

1. 用途：Dijkstra 算法也是一种贪心算法，用于在加权有向图或无向图中，计算从一个给定的源顶点到其他所有顶点的最短路径。
2. 基本思路：
   • 初始化：将源顶点的距离设置为 0，其他顶点的距离设置为无穷大。同时，将源顶点加入到已确定最短距离的顶点集合 S 中。
   • 对于与源顶点相邻的顶点，更新它们到源顶点的距离（如果新的距离更短）。
   • 从尚未加入 S 的顶点中选择距离源顶点最近的顶点 u ，将其加入到 S 中。
   • 对于与 u 相邻的顶点，再次更新它们到源顶点的距离（如果通过 u 到达这些顶点的距离更短）。
   • 重复上述步骤，直到所有顶点都被加入到 S 中，此时每个顶点到源顶点的距离就是最短距离。

Floyd算法（所有点到一点的最短距离）

    1.用途：Floyd 算法是一种动态规划算法，用于求解任意两点之间最短路径，也可以用来求所有点到一点的最短距离。

    2.基本思路：

1. 定义一个二维数组 dist，dist[i][j] 表示顶点 i 到顶点 j 的距离。初始时，若顶点 i 和 j 之间有边相连，则 dist[i][j] 为边的权重；若 i = j，则 dist[i][j] = 0；否则 dist[i][j] 设为无穷大
2. 进行三层循环，最外层循环变量 k 从 0 到 V - 1（V 为顶点数），表示中间顶点。中间两层循环分别遍历所有顶点对 (i, j)，对于每一对顶点 i 和 j，更新 dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])，即通过中间顶点 k 看是否能使 i 到 j 的距离更短。
3. 迭代结束后，dist[i][s] 中存储的就是顶点 i 到顶点 s 的最短距离。

区别：Dijkstra 算法适用于边权非负的情况，且效率相对较高；Floyd算法虽然时间复杂度较高，但可以处理更一般的情况，并且能同时求出任意两点之间的最短路径。

汽车加油问题

问题：

一辆汽车加满油后可行驶 n公里。旅途中有若干个加油站。设计一个有效算法，指出应在哪些加油站停靠加油，使沿途加油次数最少。

输入格式:
第一行有 2 个正整数n和 k（k<=1000 )，表示汽车加满油后可行驶n公里，且旅途中有 k个加油站。
第二行有 k+1 个整数，表示第 k 个加油站与第k-1 个加油站之间的距离。
第 0 个加油站表示出发地，汽车已加满油。
第 k+1 个加油站表示目的地。

输出格式:
输出最少加油次数。如果无法到达目的地，则输出“No Solution!”。

思路：

贪心算法，要尽可能少的加油

每次到站，检查剩余油量，

①到站后的剩余油量能到下一站，不加油

②到站后的剩余油量到不了下一站

• 加了油后到得了下一站，加油，
• 加了油后还是到不了下一站， 则无法到达目的地，退出