二项分布的期望方差证明_负二项分布及其应用

本文是一篇手记，记录了我对负二项分布及其应用的理解。目录如下：

1.理解"负"的含义

知乎回答有提到： https://www. zhihu.com/question/2425 3978?sort=created
文档中有提到： http://www. johndcook.com/negativeb inomial.pdf
负二项级数： https:// brilliant.org/wiki/nega tive-binomial-theorem/

负是指负二项级数，但实际上，“负”除了告诉我们负二项分布的由来，对理解其直观意义并无帮助。

根据组合数定义：

把组合数定义带入下面的式子（(1-q)^-r是负二项级数）：

2.理解定义1：伯努利过程视角

https://www. johndcook.com/blog/comp uting_binomial_coefficients/

定义1完全是基于负二项级数得到的，从伯努利过程的视角出发，也能自然的能理解负二项分布；

实际上，负二项分布描述的是第r次成功前失败的次数，记为k，那么有：

2.1.理解其作为sum of i.i.d geom

一旦理解了定义1，很自然的就可以理解为什么sum of i.i.d geom 是 负二项分布：

因为几何分布刻画的是在多次伯努利试验中，第一次成功前所经历的失败次数。

2.2.理解其期望/方差/MGF的推导 done

推导链接参考: https:// statisticalmodeling.wordpress.com /2011/07/28/the-negative-binomial-distribution/

理解了sum of i.i.d geom 是 NB后，NB的很多数字特征是可以通过geom推导出来的。

包括：

期望/方差/MGF

假设由r个i.i.d的几何分布相加，得到了NB(r,p)，那么期望与方差可以写作：

MGF：

只需要从几何分布的期望/方差/MGF出发就能得到上面的结果。

2.3.理解定义1的拓展

由于gamma函数在整数时恰好等于整数-1的阶乘，即：

因此，可以把组合数的定义式利用gamma函数对定义1进行拓展，这样使得r得取值范围在整个正实数范围。即：

# failures before r-th succe