BZOJ 1146: [CTSC2008]网络管理Network 树链剖分+线段树+平衡树
1146: [CTSC2008]网络管理Network
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Description
M公司是一个非常庞大的跨国公司，在许多国家都设有它的下属分支机构或部门。为了让分布在世界各地的N个部门之间协同工作，公司搭建了一个连接整个公司的通信网络。该网络的结构由N个路由器和N-1条高速光缆组成。每个部门都有一个专属的路由器，部门局域网内的所有机器都联向这个路由器，然后再通过这个通信子网与其他部门进行通信联络。该网络结构保证网络中的任意两个路由器之间都存在一条直接或间接路径以进行通信。 高速光缆的数据传输速度非常快，以至于利用光缆传输的延迟时间可以忽略。但是由于路由器老化，在这些路由器上进行数据交换会带来很大的延迟。而两个路由器之间的通信延迟时间则与这两个路由器通信路径上所有路由器中最大的交换延迟时间有关。作为M公司网络部门的一名实习员工，现在要求你编写一个简单的程序来监视公司的网络状况。该程序能够随时更新网络状况的变化信息（路由器数据交换延迟时间的变化），并且根据询问给出两个路由器通信路径上延迟第k大的路由器的延迟时间。 【任务】 你的程序从输入文件中读入N个路由器和N-1条光缆的连接信息，每个路由器初始的数据交换延迟时间Ti，以及Q条询问（或状态改变）的信息。并依次处理这Q条询问信息，它们可能是： 1. 由于更新了设备，或者设备出现新的故障，使得某个路由器的数据交换延迟时间发生了变化。 2. 查询某两个路由器a和b之间的路径上延迟第k大的路由器的延迟时间。
Input
第一行为两个整数N和Q，分别表示路由器总数和询问的总数。 第二行有N个整数，第i个数表示编号为i的路由器初始的数据延迟时间Ti。 紧接着N-1行，每行包含两个整数x和y。表示有一条光缆连接路由器x和路由器y。 紧接着是Q行，每行三个整数k、a、b。如果k=0，则表示路由器a的状态发生了变化，它的数据交换延迟时间由Ta变为b。如果k>0，则表示询问a到b的路径上所经过的所有路由器（包括a和b）中延迟第k大的路由器的延迟时间。注意a可以等于b，此时路径上只有一个路由器。
Output
对于每一个第二种询问（k>0），输出一行。包含一个整数为相应的延迟时间。如果路径上的路由器不足k个，则输出信息“invalid request!”（全部小写不包含引号，两个单词之间有一个空格）。
感觉树链剖分其实是一种思想，不是一种特定的数据结构。它主要是把树中的边划分为轻边和重边，相邻的重边形成一条链，该链载线段树上是一段连续的区间，使得每次访问树链(a,b)的复杂度降下。
这题求的是树链上第k大元素（不是第k小），我们可以先进行树链剖分，建立一棵线段树。线段树上的每个节点是一棵平衡树，平衡树上面维护着该节点所在区间的所有元素。
对于第一次插入时，我们直接对于每个线段树上的节点建立一棵平衡树（我的代码使用splay），该平衡树能够解决查询第k大元素、查询某值val的排名、插入、删除等问题。
对于修改操作，我们直接在线段树中相应的位置修改，但我们访问到区间[l,r]，在该节点的平衡树上需要删除掉原来的值，删除后再把新值插入到该平衡树。
对于询问操作，我们通过二分答案，跟普通的树链剖分一样在线段树上进行区间统计，当访问到最终节点（实际上是线段树的一个区间），通过平衡树查询比二分的值大的元素的个数。最后通过判断与k的关系确定下一步。
我的代码感觉很常规，使用了数组（写指针太麻烦了）来记录splay的节点，为了方便增加两个虚拟节点，就是速度有点慢，我差点以为他TLE了。。。
以下是小号测的
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 400005;
const int MAXM = 2500005;
const int INF = 1e8+5;
int sz[MAXN],son[MAXN],dep[MAXN],top[MAXN],fa[MAXN],tid[MAXN],tim;
bool use[MAXN];
int val[MAXN];
int po[MAXN],tol;
int now;
struct segTree{
int root;
int l,r,val;
inline int mid(){
return (l+r)>>1;
}
}tree[MAXN];
struct Edge{
int y,next;
}edge[MAXN];
inline void add(int x,int y){
edge[++tol].y = y;
edge[tol].next = po[x];
po[x] = tol;
}
// splay部分
struct node{
int ch[MAXM][2],sz[MAXM],val[MAXM],fa[MAXM];
int tot;
// 初始化根 ok
inline void init(int &x){
newNode(x,0,-1);
newNode(ch[x][1],x,INF+10);//两个虚拟节点
update(ch[x][1]);
update(x);
}
// 新的节点 ok
inline void newNode(int &x,int y,int c){
x = ++ tot;
sz[x] = 1;
ch[x][0] = ch[x][1] = 0;
val[x] = c;
fa[x] = y;
}
// 更新 ok
inline void update(int x){
if(!x)return;
sz[x] = sz[ ch[x][0] ]+sz[ ch[x][1] ]+1;
}
// 旋转 ok
inline int sgn(int x){
return ch[ fa[x] ][1] == x;
}
inline void setc(int y,int d,int x){
ch[y][d] = x;
fa[x] = y;
}
inline void rot(int x,int d){
int y = fa[x];
int z = fa[y];
setc(y,!d,ch[x][d]);
if(z)setc(z,sgn(y),x);
fa[x] = z;
setc(x,d,y);
update(y);
}
// splay操作 ok
inline void splay(int x,int goal=0){
if(!x)return;
while(fa[x]!=goal){
int y = fa[x];
int z = fa[y];
if(z==goal){
rot(x,!sgn(x));
break;
}else if(ch[z][0]==y){
ch[y][0]==x ? rot(y,1) : rot(x,0);
rot(x,1);
}else{
ch[y][1]==x? rot(y,0) : rot(x,1);
rot(x,0);
}
}
update(x);
if(!goal)tree[now].root = x;
}
// 得到第k大元素 ok
inline int getKth(int x,int k){
while(x){
if(sz[ ch[x][0] ]+1==k)
return x;
else if( sz[ ch[x][0] ]+1>k )
x = ch[x][0];
else{
k -= sz[ ch[x][0] ]+1;
x = ch[x][1];
}
}
return x;
}
// 得到值c得排名 ok
inline int getSz(int c){
int x = tree[now].root;
int ans = 0;
while(x){
if(val[x]<=c){
ans += sz[ ch[x][0] ]+1;
x = ch[x][1];
}else
x = ch[x][0];
}
return ans;
}
// 得到比c值大的数的个数 ok
inline int getMax(int c){
int x = tree[now].root;
int ans = 0;
while(x){
if(val[x]>=c){
ans += sz[ ch[x][1] ]+1;
x = ch[x][0];
}else
x = ch[x][1];
}
return ans;
}
// 插入
inline void ins(int c){
int k = getSz(c);
splay( getKth(tree[now].root,k),0 );
splay( getKth(tree[now].root,k+1),tree[now].root );
int root = tree[now].root;
newNode( ch[ ch[root][1] ][0] ,ch[root][1] , c );
update(ch[root][1]);
update(root);
}
// 删除，保证有元素c
inline void del(int c){
int k = getSz(c);
splay( getKth(tree[now].root,k-1),0 );
splay( getKth(tree[now].root,k+1),tree[now].root );
val[ch[ ch[tree[now].root][1] ][0]] = fa[ ch[ ch[tree[now].root][1] ][0] ] = 0;
ch[ ch[tree[now].root][1] ][0] = 0;
update( ch[tree[now].root][1] );
update(tree[now].root);
}
}sp;
// 树链剖分部分 ok
void dfsFind(int x,int pa,int depth){
dep[x] = depth;
fa[x] = pa;
sz[x] = 1;
son[x] = 0;
use[x] = true;
for(int i=po[x];i;i=edge[i].next){
int y = edge[i].y;
if(use[y])continue;
dfsFind(y,x,depth+1);
sz[x] += sz[y];
if(sz[y]>sz[ son[x] ])
son[x] = y;
}
}
void dfsCon(int x,int pa){
use[x] = true;
top[x] = pa;
tid[x] = ++ tim;
if(son[x])dfsCon(son[x],pa);
for(int i=po[x];i;i=edge[i].next){
int y = edge[i].y;
if(use[y])continue;
dfsCon(y,y);
}
}
// 线段树部分
// 建树
void build(int l,int r,int rt){
tree[rt].l = l;
tree[rt].r = r;
if(l==r)
return;
int mid = (l+r)>>1;
build(l,mid,rt<<1);
build(mid+1,r,rt<<1|1);
}
// 修改，把原来的del删除，插入新值c
void modify(int pos,int c,int del,int rt){
now = rt;
if(del!=-1)sp.del( del );
if(!tree[rt].root)
sp.init(tree[rt].root);
sp.ins( c );
if(tree[rt].l==tree[rt].r)
return;
int mid = tree[rt].mid();
if(pos<=mid)
modify(pos,c,del,rt<<1);
else
modify(pos,c,del,rt<<1|1);
}
// 在区间[l,r]中查询比c大的数的个数
int ask(int l,int r,int c,int rt){
now = rt;
if(tree[rt].l==l&&tree[rt].r==r)
return sp.getMax( c )-1;
int mid = tree[rt].mid();
if(r<=mid)
return ask(l,r,c,rt<<1);
else if(l>mid)
return ask(l,r,c,rt<<1|1);
else
return ask(l,mid,c,rt<<1)+ask(mid+1,r,c,rt<<1|1);
}
inline int cc(int k,int a,int b,int mid){
int ans = 0;
while(top[a]!=top[b]){ // 新型lca求法
if( dep[ top[a] ] < dep[ top[b] ] )
swap(a,b);
ans += ask( tid[ top[a] ] , tid[a] , mid , 1 );
a = fa[ top[a] ];
}
if(dep[a]>dep[b])
swap(a,b);
ans += ask(tid[a],tid[b],mid,1);
return ans;
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("sum.in","r",stdin);
//freopen("sum.out","w",stdout);
#endif
int n,m,x,y,k;
while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&val[i]);
memset(po,0,sizeof(po));
tol = 1;
for(int i=1;i<n;i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
add(y,x);
}
// 树链剖分
memset(use,false,sizeof(use));
dfsFind(1,1,1);
memset(use,false,sizeof(use));
tim = 0;
dfsCon(1,1);
// 建立线段树
build(1,n,1);
for(int i=1;i<=n;i++)
modify(tid[i],val[i],-1,1);
while(m--){
scanf("%d%d%d",&k,&x,&y);
if(!k){
modify( tid[x],y,val[x],1 );
val[x] = y;
}else{
int ans = -1;
int l = 0 , r = INF;
while(l<=r){
int mid = (l+r)>>1;
int tmp = cc(k,x,y,mid);
if(tmp>=k){
ans = mid;
l = mid+1;
}else
r = mid-1;
}
if(ans==-1)
puts("invalid request!");
else
printf("%d\n",ans);
}
}
}
return 0;
}