hoj1402整数划分问题

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整数划分是一个经典的问题。希望这道题会对你的组合数学的解题能力有所帮助。

Input 

每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)

Output 

对于每组输入，请输出六行。

 

第一行： 将n划分成若干正整数之和的划分数。

 第二行： 将n划分成k个正整数之和的划分数。

 第三行： 将n划分成最大数不超过k的划分数。

 第四行： 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。

 第五行： 将n划分成若干不同整数之和的划分数。

 第六行： 打印一个空行。



第一行和第三行：

    对于第一行和第三行，根据状态转移方程很容易写出：

    dp[i][j] = dp[i][i]                j>i时

              = dp[i-j][j]+dp[i][j-1]   i>=j时

    i记录的是该要分的数,j表示最大数不超过j的划分数，当j比i还大时当然是只能j分到i而已，

    当i>=j时，注意到5 = 5 = 4+1 = 3+2 = 3+1+1 = 2+2+1 = 2+1+1+1 = 1+1+1+1+1，5可以划分为

    4+1，而4的划分数之前已求出，相当于加上4的划分数，即dp[i][j-1]，另外注意到

    5 = 2+2+1 = 2+1+1+1 = 1+1+1+1+1，即还要加上要减的数5减掉2之后,

    dp[5][2] = dp[5-2][2]+dp[5][1] = dp[3][2]+1 = dp[3-2][2]+dp[3][1]+1 = dp[1][1]+1+1 = 3;

    每次算dp时其实都可以先写写dp之间的转移关系，弄清楚后，再写出状态转移方程



第二行：

    将n划分成K个正整数之和的划分数。根据第一行和第三行的程序的启发，可以这样设置dp为三维，

    dp[i][p][j]，i表示要划分的数，p为要划分的总个数，j为划分的数中的最大值为不超过j，可以得到

    以下状态转移方程：

    dp[i][p][j] = dp[i][p][i]                j>i时

                = dp[i-j][p-1][j] + dp[i][p][j-1]

    解析一下吧：

    当没用到当前最大值j时，因为要划分的数和要划分的数的个数都不变，

    当用到当前最大值j时，因为用到了一个数，所以划分数的总个数减一，并且划分数要减j

    初始化可以是先置零，再dp[i][1][j] = 1,且当j>i时，dp[i][p][j] = dp[i][p][i]

    比如例子：

    dp[5][2][5] = dp[0][1][5]+dp[5][2][4] = 0+dp[1][1][4]+dp[5][2][3] = 1+dp[5][2][3]

    = 1+dp[2][1][3] = 2，得到结果



第四行： 

    将n划分成若干奇正整数之和的划分数。同样根据一三行的方法做，令dp[i][j]表示当前的划

    分数为i，最大值为j时的中的划分数，则状态转移方程为

    dp[i][j] = dp[i][i]        if(j%2==1&&j>i)

             = dp[i][i-1]   if(j%2==0&&j>i)

             = dp[i-j][j]+dp[i][j-2]

    解析一下：

    当j>i时没什么好说的了，因为最大数不可能为偶数嘛，

    当j<=i时，如果用到当前最大值，则划分数要减掉当前的j值，

              如果没用到j时，则划分数不变，划分的最大值要减少2



第五行：

    将n划分成若干不同整数之和的划分数。其实这个的状态转移方程挺好找的，

    同样根据一三的方法就行，dp[i][j] = dp[i][j-1]+dp[i-j][j-1]，

    解析一下：

    i记录的是要划分的数，j表示当前最大划分到的数中的最大值，

    当用到当前的j时，划分数i要减掉j，并且因为各个划分数不同，所以j还要减掉1；

    当没用到j时，j减一，划分数i不变



由此看来，第一行和第三行的代码很重要，其他的都是可以从它得到啊。。。

*/

#include <iostream>

#include <cstring>

using namespace std;

#define X 52

int dp[X][X],dp2[X][X][X],dp3[X][X],dp4[X][X],n,k;

void f_1_3()

{

    for(int i=1;i<X;i++)    //初始化

        dp[i][0] = 0;

    dp[0][0] = 1;

    for(int i=0;i<X;i++)    //实现状态转移方程

        for(int j=1;j<X;j++)

            if(i>=j)

                dp[i][j] = dp[i-j][j]+dp[i][j-1];

            else

                dp[i][j] = dp[i][i];

}

void f_2()

{

    memset(dp2,0,sizeof(dp2));

    for(int i=1;i<X;i++)    //初始化

        dp2[i][1][i] = 1;

    for(int i=0;i<X;i++)    //初始化

        for(int j=0;j<X;j++)

            if(j>i)

                dp2[i][1][j] = dp2[i][1][i];



    for(int i=1;i<X;i++)    //状态转移

        for(int p=2;p<X;p++)

            for(int j=1;j<X;j++)

                if(j>i)

                    dp2[i][p][j] = dp2[i][p][i];

                else

                    dp2[i][p][j] = dp2[i-j][p-1][j]+dp2[i][p][j-1];

}

void f_4()

{

    memset(dp3,0,sizeof(dp3));

    for(int i=1;i<X;i++)    //初始化，当最大值为1时，只能由i自己本身组成，划分数为1

        dp3[i][1] = 1;

    for(int i=1;i<X;i+=2)    //涉及到后面的状态转移时i会减少到0，但实际上，当j为奇数时，必须得加1

        dp3[0][i] = 1;

    dp3[0][0] = 1;            //初始化1

    for(int i=1;i<X;i++)    //实现状态转移方程

        for(int j=3;j<X;j+=2)

        {

            if(j>i)

            {

                if(i%2)

                    dp3[i][j] = dp3[i][i];

                else

                    dp3[i][j] = dp3[i][i-1];

            }

            else

                dp3[i][j] = dp3[i-j][j]+dp3[i][j-2];

        }

}

void f_5()

{

    memset(dp4,0,sizeof(dp4));

    for(int i=1;i<X;i++)    //初始化

    {

        dp4[1][i] = 1;

        dp4[0][i] = 1;

    }

    for(int i=2;i<X;i++)    //状态转移方程

        for(int j=1;j<X;j++)

            if(i<j)

                dp4[i][j] = dp4[i][i];

            else

                dp4[i][j] = dp4[i][j-1]+dp4[i-j][j-1];

}

int main()

{

    freopen("sum.in","r",stdin);

    freopen("sum.out","w",stdout);

    f_1_3();

    f_2();

    f_4();

    f_5();

    while(cin>>n>>k)

    {

        cout<<dp[n][n]<<endl;

        cout<<dp2[n][k][n]<<endl;

        cout<<dp[n][k]<<endl;

        if(n%2)

            cout<<dp3[n][n]<<endl;

        else

            cout<<dp3[n][n-1]<<endl;

        cout<<dp4[n][n]<<endl;

        cout<<endl;

    }

    return 0;

}