CF div 181 300C Beautiful Numbers 組合數 Lucas定理

題目：
　　如果一個數的各位數字均為a或者b，則這數為good number。如果一個goodnumber的各數字和為good number的話，這個數為excellent。給出a b以及數的長度為len，問長度為len的數中有多少個excellent數

分析：
　　比較明顯的組合數。
　　我們可以枚舉有i個a，然後剩餘len-i個b。
　　如果a*i+(len-i)*b為good，我們可以從len個位置中選出i個位置放a，剩餘的len-i個位置放b。所以當前的組合數為C(len,i)。
　　答案即為sigma(C(len,k)),a*k+(len-k)*b為good
　　由於len比較大，所以我們需要進行優化。
　　C(n,i) = n!/( m!*(n-m)! )
　　所以我們可以通過求( m!*(n-m)! )的逆元inv，然後n!*inv即為組合數
　　由於題目時間限制還是比較緊，所以我們需要預處理出階乘

　　最後時間為46ms，還是比較快的。

　　

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <iostream>



using namespace std;



typedef long long ll;



#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++)

#define rep1(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)



#define RD3(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)



/******** program ********************/



const int MOD = 1e9+7;

const int MAXN = 1e6+5;



int a,b,len;

ll fac[MAXN];



bool ok(int n){

    while(n){

        int t = n%10;

        if(t!=a&&t!=b)

            return false;

        n /= 10;

    }

    return true;

}



ll Ext_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){

    if(b==0){

        x = 1;

        y = 0;

        return a;

    }

    ll res = Ext_gcd(b,a%b,y,x);

    y -= a/b*x;

    return res;

}



ll Inv(ll a){ // 擴展歐几里得求逆元

    ll d,x,y;

    d = Ext_gcd(a,MOD,x,y);

    if (d==1) return (x%MOD+MOD)%MOD;

    return -1;

}



ll C(int n,int m){//组合数公式:n!/( (n-m)!*m! ) = n!*inv( (n-m)!*m! )

    return fac[n]*Inv(fac[m]*fac[n-m]%MOD)%MOD;

}



int main(){



#ifndef ONLINE_JUDGE

	freopen("sum.in","r",stdin);

	//freopen("sum.out","w",stdout);

#endif



    RD3(a,b,len);



    fac[0] = 1;

    rep1(i,len)

        fac[i] = fac[i-1]*i%MOD;

    ll ans = 0;



    for(int i=0;i<=len;i++)

        if( ok(i*a+(len-i)*b) )

            ans += C(len,i);

    printf("%I64d\n",ans%MOD);



	return 0;

}