积性函数

对于正 整数 n的一个 算术函数 f( n)，当中f(1)=1且当 a, b 互质，f( ab)=f( a)f( b)，在数论上就称它为 积性函数。若某算术函数f( n)符合f(1)=1，且就算 a, b不互质，f( ab)=f( a)f( b)，则称它为 完全积性的。

 

例子

• φ(n) －欧拉φ函数，计算与n互质的正整数之数目
• μ(n) －默比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目
• gcd(n,k) －最大公因子，当k固定的情况
• d(n) －n的正因子数目
• σ(n) －n的所有正因子之和
• σ_k(n): 因子函数，n的所有正因子的k次幂之和，当中k可为任何复数。在特例中有：
  • σ₀(n) = d(n) 及
  • σ₁(n) = σ(n)
• 1(n) －不变的函数，定义为 1(n)=1 （完全积性）
• Id(n) －单位函数，定义为 Id(n)=n （完全积性）
• Id_k(n) －幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Id_k(n) = n^k （完全积性）
  • Id₀(n) = 1(n) 及
  • Id₁(n) = Id(n)
• ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若n > 1，ε(n)=0。有时称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）
• (n/p) －勒让德符号，p是固定质数（完全积性）
• λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目
• γ(n)，定义为γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目
• 所有狄利克雷特征均是完全积性的

性质

积性函数的值完全由质数的幂决定，这和算术基本定理有关。即是说，若将n表示成质因子分解式如，则。

若f为积性函数且f(pⁿ) = f(p)ⁿ，则f为完全积性函数。

狄利克雷卷积

两个积性函数的狄利克雷卷积必定是积性函数。因此，以卷积为群的运算，所有积性函数组成了一个子群。但注意两个完全积性函数的卷积未必是完全积性的。

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