算法——递推算法（顺推、逆推）

1. 顺推法

斐波拉契的“养兔问题”

公元1202年，一位意大利比萨的商人斐波拉契（Fibonacci，约1170－1250？）在他的《算盘全书》（这里的“算盘”指的是计算用沙盘）中提出过一个“养兔问题”。

某人买回一对小兔，一个月后小兔长成大兔。再过一个月，大兔生了一对小兔，以后，每对大兔每月都生一对小兔，小兔一个月后长成大兔。如此下去，问一年后此人共有多少对兔子？

表1 兔子的繁殖过程

月份	大兔数量	1月大的 小兔数量	2月大的 小兔数量	兔子总数
初始状态	0	1	0	1
1月	0	0	1	1
2月	1	1	0	2
3月	1	1	1	3
4月	2	2	1	5
5月	3	3	2	8
6月	5	5	3	13
7月	8	8	5	21
8月	13	13	8	34
9月	21	21	13	55
10月	34	34	21	89
11月	55	55	34	144
12月	89	89	55	233

设为第n个月份的兔子总数，数学模型：

 

C#代码实现            int months = 12;    //设定月份



            int[] rabbitNum = new int[months+1];



            //设定初始状态

            rabbitNum[0] = 1;    

            rabbitNum[1] = 1;



            for (int i = 2; i <= months; i++)

            {

                rabbitNum[i] = rabbitNum[i - 1] + rabbitNum[i - 2];

            }



            for (int i = 0; i <= months; i++)

            {

                Console.WriteLine(i + "月的兔子总数为： " + rabbitNum[i]);

            }

 

Matlab代码实现%斐波拉契的养兔问题

clear,close all



format short;

%设定月份

months=12;



rabbitNum=zeros(months+1);



%设定初始状态

rabbitNum(1)=1;

rabbitNum(2)=1;



for i=3:months+1

    rabbitNum(i)=rabbitNum(i-1)+rabbitNum(i-2);

end



for i=1:months+1

    fprintf('%d 月的兔子总数为： %d\n',i-1,rabbitNum(i));

end

 

运行结果

 

2. 逆推法

小龙的父亲供小龙4年（48个月）大学读书，采用整存零取的方式，一次性预存一笔钱于银行，小龙每个月月初取1000元。假设银行年利率为0.0171，若要求在第48个月小龙大学毕业时连本带息要取1000元，则应该一次性预存多少钱？

设每个月月末存款为，其中表示月份，n=0时表示第一月的月初，数学模型为：

 

C#代码实现            double monthRate = 0.0171 / 12;

            int months = 49;

            int FETCH = 1000;



            double[] money = new double[months];



            money[48] = FETCH;

            for (int i = months-1; i > 0; i--)

            {

                money[i - 1] = money[i] / (1 + monthRate) + FETCH;

            }



            for (int i = months-1; i >= 0; i--)

            {

                Console.WriteLine("第"+i+"个月份的月末存款为: " + money[i] );

            }

 

Matlab代码实现%存款问题

clear,close all



monthRate=0.0171/12;



months=49;

Fetch=1000;



Money=zeros(months);

Money(49)=Fetch;



for i=months:-1:2

    Money(i-1)=Money(i)/(1+monthRate)+Fetch;

end



for i=months:-1:0

    fprintf('第 %d 个月份的月末存款为： %f\n',i,Money(i+1));

end

 

运行结果

不考虑利息，则须存48000元，由于利息的存在只需要存入47363元。关键取决于利息的大小，利息不大的情况下，可直接存入48000元，利息生出的钱可作为奖赏。