ACdream 1148(莫比乌斯反演+分块)

 

传送门：GCD SUM

题意：给出N,M
执行如下程序：
long long  ans = 0,ansx = 0,ansy = 0;
for(int i = 1; i <= N; i ++)
   for(int j = 1; j <= M; j ++)
       if(gcd(i,j) == 1) ans ++,ansx += i,ansy += j;
cout << ans << " " << ansx << " " << ansy << endl;

分析：ans会莫比乌斯反演的人都能秒，ansx和ansy一样，需要推导一下，我们知道，在求ans时是这样推导的：

设F(i)为[1,n][1,m]内gcd(x,y)==i的倍数时的总[x,y]数

设f(i)为[1,n][1,m]内gcd(x,y)==i时的总[x,y]数

F(i)=f(i)+f(2*i)+f(3*i)+……

莫比乌斯反演得i：

f(i)=μ(1)*F(i)+μ(2)*F(2*i)+μ(3)*F(3*i)+……

f(1)=μ(1)*F(1)+μ(2)*F(2)+μ(3)*F(3)+……

而F(i)=(m/i)*(n/i),直接代F(i)进去算即可。

同样求ansx和ansy：

定义A(i),gcd(a,b)=i时，加到ansx上的和

定义B(i),gcd(a,b)=i，2*i，3*i……时，加到ansx上的总和

B(i)=A(i)+A(2*i)+A(3*i)+……

莫比乌斯反演得：

A(i)=μ(1)*B(i)+μ(2)*B(2*i)+μ(3)*B(3*i)+……

A(1)=μ(1)*B(1)+μ(2)*B(2)+μ(3)*B(3)+……

B(i)=(n/i+1)*(n/i)/2*i * (m/i);直接代B(i)进去计算i即可。

#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <string>

#include <cmath>

#include <limits.h>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <queue>

#include <cstdlib>

#include <stack>

#include <vector>

#include <set>

#include <map>

#define LL long long

#define mod 100000000

#define inf 0x3f3f3f3f

#define eps 1e-6

#define N 100000

#define lson l,m,rt<<1

#define rson m+1,r,rt<<1|1

#define PII pair<int,int>

using namespace std;

inline int read()

{

    char ch=getchar();int x=0,f=1;

    while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}

    while(ch<='9'&&ch>='0'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}

    return x*f;

}

bool vis[N+5];

int mu[N+5],prime[N+5],sum[N+5],sumx[N+5];

void Mobius()

{

    memset(vis,false,sizeof(vis));

    mu[1]=1;

    int tot=0;

    for(int i=2;i<=N;i++)

    {

        if(!vis[i])

        {

            prime[tot++]=i;

            mu[i]=-1;

        }

        for(int j=0;j<tot;j++)

        {

            if(i*prime[j]>N)break;

            vis[i*prime[j]]=true;

            if(i%prime[j]==0)

            {

                mu[i*prime[j]]=0;

                break;

            }

            else

            {

                mu[i*prime[j]]=-mu[i];

            }

        }

    }

    for(int i=1;i<=N;i++)sum[i]=sum[i-1]+mu[i],sumx[i]=sumx[i-1]+mu[i]*i;

}

int main()

{

    int n,m;

    Mobius();

    while(scanf("%d%d",&n,&m)>0)

    {

        LL ans=0,ansx=0,ansy=0;

        for(int i=1,last=0;i<=min(n,m);i=last+1)

        {

            last=min(n/(n/i),m/(m/i));

            ans+=(LL)(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);

            ansx+=(LL)(sumx[last]-sumx[i-1])*(n/i)*(n/i+1)/2*(m/i);

            ansy+=(LL)(sumx[last]-sumx[i-1])*(m/i)*(m/i+1)/2*(n/i);

        }

        printf("%lld %lld %lld\n",ans,ansx,ansy);

    }

}

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