概率dp-九度-1546-迷宫问题
题目链接：
http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1546
题目意思：
有一个起点S，多个出口E，#代表不能走，每次等概率的随机选择下一个可以行走的位置，求从S到出口的期望。
解题思路：
高斯消元求解期望。
先BFS预处理能够到达的出口的位置，然后如果从起点不能到达终点，直接输出-1.
然后对于无效的点，置该未知数的解为-1，否则依据dp[i][j]=1+dp[i-1][j]*1/4+dp[i][j+1]*1/4+dp[i+1][j]*1/4+dp[i][j-1]*1/4,构建n*m个方程，注意有些位置的可行位置数小于4，为cnt的话，此时的下一步概率为1/cnt.
然后解方程，求出唯一解。
PS:
解方程时，如果有的未知数有解，有的无解，可以将无解的情况置一个特殊值，然后按有唯一解的方式来解方程，避免无解未知数对有解未知数的影响。
方程系数要清零。wa了好几次。
代码：
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<sstream>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<list>
#include<queue>
#include<ctime>
#include<bitset>
#define eps 1e-8
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1.0)
#define ll __int64
#define LL long long
#define lson l,m,(rt<<1)
#define rson m+1,r,(rt<<1)|1
#define M 1000000007
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
#define Maxn 20
char sa[Maxn][Maxn];
int n,m,num,dir[4][2]={{-1,0},{0,1},{1,0},{0,-1}};
double dp[Maxn][Maxn],pp[Maxn][Maxn];
double g[Maxn*Maxn][Maxn*Maxn],ans[Maxn*Maxn];
bool vis[Maxn][Maxn];
void gaosi(int r,int c)
{
for(int i=0,j=0;i<r&&j<c;i++,j++)
{
int t=i;
for(int p=i+1;p<=r;p++)
if(fabs(g[p][j])>fabs(g[t][j]))
t=p;
if(fabs(g[t][j])<eps) //这是多解的情况
continue;
if(t-i) //不相同，则交换
{
for(int p=j;p<=c;p++)
swap(g[t][p],g[i][p]);
}
for(int p=i+1;p<=r;p++)
{
double tmp=g[p][j]/g[i][j];
if(fabs(tmp)<eps)
continue;
g[p][j]=0.0;
for(int q=j+1;q<=c;q++)
g[p][q]-=tmp*g[i][q];
}
}
for(int p=r;p>=0;p--)
{
if(fabs(g[p][p])<eps) //无解的情况
continue;
ans[p]=g[p][c];
for(int q=r;q>p;q--)
ans[p]-=g[p][q]*ans[q];
ans[p]/=g[p][p];
}
}
bool iscan(int x,int y)
{
if(x<0||x>=n||y<0||y>=m)
return false;
return true;
}
int sx,sy;
bool bfs() //从S出发找到所有可行的位置
{
bool flag=false;
queue<pair<int,int> >myq;
myq.push(make_pair(sx,sy));
memset(vis,false,sizeof(vis));
vis[sx][sy]=true;
while(!myq.empty())
{
int x=myq.front().first;
int y=myq.front().second;
myq.pop();
for(int i=0;i<4;i++)
{
int ans=x+dir[i][0],yy=y+dir[i][1];
if(!iscan(ans,yy)||vis[ans][yy]||sa[ans][yy]=='#')
continue;
vis[ans][yy]=true;
myq.push(make_pair(ans,yy));
if(sa[ans][yy]=='E') //能够到达终点
flag=true;
}
}
return flag;
}
double dl(double a)
{
if(fabs(a)<eps)
return 0;
return a;
}
int main()
{
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
int ss;
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%s",sa[i]);
for(int j=0;j<m;j++)
{
if(sa[i][j]=='S')
{
sx=i,sy=j;
ss=i*m+j;
}
}
}
if(!bfs()) //不能够到达终点
{
printf("-1\n");
continue;
}
num=-1;
int last=n*m;
memset(g,0,sizeof(g));
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<m;j++)
{
num++;
int tmp=i*m+j;
if(!vis[i][j]) //无解的位置
{
g[num][tmp]=1;
g[num][last]=-1;
}
else
{
if(sa[i][j]=='E') //终点位置
{
g[num][tmp]=1;
g[num][last]=0;
continue;
}
int cnt=0,next[5];
for(int k=0;k<4;k++) //求出下一步可行的位置数
{
int x=i+dir[k][0],y=j+dir[k][1];
if(iscan(x,y)&&sa[x][y]!='#'&&vis[x][y])
{
cnt++;
next[cnt]=x*m+y;
}
}
g[num][tmp]=1;
g[num][last]=1;
for(int k=1;k<=cnt;k++) //构建当前位置的方程
g[num][next[k]]=-1.0/(cnt*1.0);
}
}
gaosi(n*m-1,n*m);
ans[ss]=dl(ans[ss]);
if(ans[ss]>0)
printf("%.2f\n",ans[ss]);
else
printf("-1\n");
}
return 0;
}