hdu 3944 DP? ——Lucas定理

自己敲的lucas定理MLE了……把官方题解和官方解题报告贴过来当模版好了……

显然第 n 行第 k 列的数就是组合数 C(n,k) ,答案满足对称性。只需要讨论 k <=n / 2 的

情况。考虑从目的地往上走到顶点,因为组合数在 k <= n / 2 是递增的,所以每次只要斜向上

走,到了最左端,再往上走就可以得到最小的和,所以最小的和为

C(n,k)+C(n-1,k-1)+C(n-2,k-2)+......+C(n-k,0)+n-k;

下面就是求这个数的问题。

用 C(n-k+1,0)替换掉 C(n-k,0)后,得到:

C(n-k+1,0)+C(n-k+1,1)+C(n-k+2,2)+......+C(n-1,k-1)+C(n,k)+n-k

对于组合数有 C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)

所以最左边两个数相加得 C(n-k+2,1),继续与 C(n-k+2,2)相加得到 C(n-k+3,2),一直加下

去最后得到 C(n+1,k)。

所以最小的和为 C(n+1,k)+n-k。

Lucas定理：

A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0])  mod p同余

上代码：

此模版可以解决任意组合数（n，k<10^9)模p（p<10^4）问题(p不能再加数量级了，否则模版承受不了）

注意：模版计算的是（n+1  k)

2011-08-20 21:35:39

Accepted

3944

390MS

54680K

1506 B

G++

Tiramitu

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#define maxn 10000

using namespace std;

int flag[maxn],pim[maxn],tol;
int p[1229][9973];
int ni[1229][9973];
int mp[10000];

void init()
{
    tol=0;
    for(int i=2;i<maxn;i++)//素数筛
    {
        if(!flag[i])  pim[tol++]=i;
        for(int j=0;j<tol&&i*pim[j]<maxn;j++)
        {
            flag[i*pim[j]]=1;
            if(i%pim[j]==0) break;
        }
    }
    for(int i=0;i<tol;i++)//对每一个素数求各阶乘模和逆
    {
        int k=pim[i];
        mp[k]=i;
        p[i][0]=1, p[i][1]=1;
        ni[i][0]=1,ni[i][1]=1;
        for(int j=2;j<k;j++)//从2！到（p-1）！
        {
            p[i][j]=j*p[i][j-1]%pim[i];
            ni[i][j]=-k/j*ni[i][k%j]%k;
            if(ni[i][j]<0) ni[i][j]+=k;
        }
    }
    for(int i=0;i<tol;i++)//求阶乘逆
    {
        int k=pim[i];
        for(int j=1;j<k;j++)
        {
            ni[i][j]=ni[i][j]*ni[i][j-1]%k;
        }
    }

}

int cal(int n,int m,int v)
{
    if(n<m) return 0;
    int x=mp[v];
    return p[x][n]*ni[x][m]%v*ni[x][n-m]%v;
}

int main()
{
    int n,k,p,ca=0;
    init();
    while(scanf("%d %d %d",&n,&k,&p)==3)
    {
        if(k>n/2) k=n-k;
        int res=1,u_u=n-k;
        n++;
        while(n&&k)
        {
            res=res*cal(n%p,k%p,p)%p;
            if(res==0) break;
            n/=p;
            k/=p;
        }
        printf("Case #%d: %d\n",++ca,(res+u_u)%p);
    }
    return 0;
}