Bresenham直线扫描算法

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Bresenham算法讲的是如何将一条直线方程绘制在电脑显示屏上。

首先,我们要知道,电脑显示器是点阵构成。每个点的坐标均是整数。第二点,绘制到显示器上的直线必须是看起来连续的。这个连续的具体表现就是,如果两个个点它是连续的,那么一个点必须在另一个点的四周八个像素位置的一个。

出于这些要求,要把直线绘制到显示器上,必须将直线转换成连续的离散点(这个连续是显示器意义上的连续)。这个转换应该不是准确的,他是一种近似的装换,将直线上的点(大部分是小数)转换成近似的整数点。

现在我们试着用比较笨的方法转换下看。

直线y=x:x为1,y计算出来为1;x为2,y计算出来为2。。。那么转换好的点是(1,1),(2,2),(3,3)...因为直线比较特殊,转换出来的点均是准确的并连续的。那么我们再看一条直线。

直线y=0.5*x:x为1,y计算出来为0.5,因为需要整数,故将y四舍五入为1;x为2,y为1;x为3,y计算好四舍五入为2。。。那么转换好的点是(1,2),(2,1),(3,2)...这里出现小数,那么我们就要取近似值,进行四舍五入。四舍五入的算法是int(num+0.5)。那么我们再看一条直线。

直线y=1.5*x:x为1,y四舍五入为2,x为2,y为3,x为3,y四舍五入为5。。。出来的点是(1,2),(2,3),(3,5)...如果仔细观察这些点,发现什么?对,(2,3)和(3,5)出现了不连续,为了实现连续,我们应该在(2,4)或(3,4)补上一个点。那么出来的点就是(1,2),(2,3),(3,4),(3,5)...

以上是最笨的方法,虽然实现了绘制,可是每次都要代入直线方程,而且需要进行四舍五入,还要判断是否连续。那么,下面,我们改进这个算法。

回想直线方程通式y=kx+b,其中,k表示斜率,其物理意义,如果将x理解为时间,y理解为路程的话,那么k就是速度,其表示每增加单位时间,路程的增量。是否所有启发,我们可以通过这个将耗时耗力的乘法踢掉了。

注意理解,如果将x看成时间,y看成路程,那么,每增加一个单位时间,也就是x++,那么y就会增加k。这样,我们就能通过递推方式算出y。

拿y=0.5*x这个直线开刀。当x为1,这个第一步要代入方程算出y为0.5,通过四舍五入得出点(1,1)。然后x++得到2,原来y算出的那个0.5加上一个k(k=0.5),变成了1,得到点(2,1),x再执行x++,y再执行y+k得到1.5,于是得到点(3,2)。是不是和上面用傻方法算出的一样呢?

不过,这个方法尚未消除判断不连续问题。

其实,如果你眼尖,或者对数字比较敏感,你会发现,如果直线的k绝对值在0和1之间,则不会发生不连续的情况。那是因为我们刚才的方法是以x作为自变量,y作为因变量,x每次均递增1,而y的增量则不明确。可是为了要连续,y增量的绝对值必须小于1,否则两点会因为y增加过猛而不连续。而y的增量正好是k。故k绝对值在0和0之间时,不会发生不连续。为了解决这个问题,我们适当选择自变量和因变量,来确保因变量每次的增量都在0和1范围内。

对于直线y=1.5*x,我们确定这个直线的自变量为y,因变量为x,x的增量为2/3(就是1/k,k原来是1.5,所以1/k是2/3)。那么y为1计算出x为2/3,四舍五入为1,得到点(1,1),y自加为2,x增加2/3变成4/3,四舍五入为1,得到点(2,1),以此类推。。观察发现出来的点均是连续的。

现在,我们从方程代入和连续点判断上做了优化,接下来我们来做四舍五入的优化。

对于因变量的增量限定为1以内的计算,四舍五入很大程度上都是在做无用功。比如一个值为0.2的数其增量我们规定是0.1,通过四舍五入算法int(0.2+0.5)后得出0.2四舍五入后的值是0,那么我们做一次增加增量,0.2+0.1得0.3,然后四舍五入int(0.3+0.5)为0 ,再增量,0.4,四舍五入int(0.4+0.5)得0,直到再增量为0.5,int(0.5+0.5)才为1。.int()这个运算符是强制取整,相对于加减和比较运算,这个运算开销有点大。那么我们就换一个思路,从一开始,我们就进行整数运算,将是否进位交给另外一个变量判断。对于一个整数n,在(n-0.5)到(n+0.5)(不包括)范围内的数,都将四舍五入成n。

那么对于一个数字,number它四舍五入的结果为整数inta,那么我们相信,number可以表示成(inta+b),b的范围是[-0.5,0.5),如果number得到了一个增量c(c是小于1的),而且b+c还是在[-0.5,0.5)范围内,那么得到增量后的number四舍五入后的结果应该还是inta;如果b+c的值大于0.5,那么得到增量后的number四舍五入后的结果应该是inta+1,同理b+c的值小于-0.5,得到增量后的number四舍五入后的结果应该是inta-1。

通过这个原理,我们可以设计一个算法。

设number是每次都要增加k的一个数,inta是number每次增加个k后四舍五入得到的整数。

k的范围是[0,1]

如果设一个b使number==inta+b+0.5

那么 b==number-inta-0.5

b的范围是[-1,0)

现在要给number加k,那么得到b’==number+k-inta-0.5

且得到number'==inta+b‘+0.5==inta+b+k+0.5

如果b+k+0.5大于0.5,那么inta+b+k+0.5四舍五入的结果为inta+1。

那么新的number'=inta+b+k+0.5=inta'-1+b+k+0.5

那么最终得到新的b''=b+k-1

如果b+k+0.5没有大于0.5,inta没有增加,那么最终得到新的b''=b+k

然后,反复迭代,从代替了直接进行四舍五入,提高了效率。

这样,我们绘制直线的优化工作就做好了

以下是代码

var datas:BitmapData=newBitmapData(550,400,false,0x000000);//位图数据

var map:Bitmap=new Bitmap(datas);//位图显示对象

this.addChildAt(map,0);

var theSize:int=5;//控制一个像素点的大小

//根据像素点的大小,在指定坐标绘制一个像素(其实是绘制一个矩形)

function drawPixel(thex:int,they:int):void

{

varstartx:int=theSize*thex;//矩形的左上角x坐标

varstarty:int=theSize*they;//矩形的左上角y坐标

if(startx>400||starty>550||startx+theSize<0||starty+theSize<0)return;//如果矩形超出范围,则退出

datas.fillRect(newRectangle(startx,starty,theSize,theSize),0xffffff);//在位图上绘制矩形

}

//根据Bresenham算法绘制直线,直线又两点式表示

functiondarwLine(x1:Number,y1:Number,x2:Number,y2:Number):void

{

varxadd:int;//x每次的增量,实际上只有1和-1两个值

varyadd:int;//y每次的增量

vark:Number;//直线斜率

vardx:int;//绘制像素的x坐标

vardy:int;//绘制像素的y坐标

vare:Number;//一个中间值,用来快速进行四舍五入,是算法高速的关键

if(x2>=x1)xadd=1;//要是第一个点在第二个点的左边,那么从第一个点绘制到第二个点,x坐标应该是单调递增的

elsexadd=-1;//否则就单调递减

if(y2>=y1)yadd=1;//同理,如果第一个点在第二个点下方,那么从第一个点绘制到第二个点,y坐标是单调递增的

elseyadd=-1;//否则单调递减

k=(y2-y1)/(x2-x1);//算出直线斜率

k=(k>0)?k:(-k);//取斜率绝对值

dx=int(x1+0.5);//将第一个点的x坐标四舍五入,作为第一个绘制点x的坐标

dy=int(y1+0.5);//将第一个点的y坐标四舍五入,作为第一个绘制点的y坐标

//Bresenham算法绘制直线对斜率要求是绝对值在0和1之间,所以要对斜率进行判断,如果斜率大于1,那么需要对x和y对换对待

if(k>1)//斜率大于1,那么把x看成y,把y看成x,这样x随着y的变化而变化

{

varmy:int//终点y坐标

k=1/k;//将斜率求倒数,因为x和y对换了嘛

e=x1-dx-0.5;//中间变量起始值。这个其中原理在最开始讲过

my=int(y2+0.5);//求助终点坐标值

drawPixel(dx,dy);//绘制第一个点

while(dy!=my)//到达终点才停止循环

{

dy+=yadd;//每一次循环,y都要自增一下(或自减)

e+=k;//中间变量加上斜率

if(e>=0)//如果e值超出

{

dx+=xadd;//那么因变量要增加(或减少)一个

e--;//e值倒退1

}

drawPixel(dx,dy);//绘制计算出来的点

}

}

//一下同理,就是x和y换一下

else

{

varmxx:int;

e=y1-dy-0.5;

mxx=int(x2+0.5);

drawPixel(dx,dy);

while(dx!=mxx)

{

dx+=xadd;

e+=k;

if(e>=0)

{

dy+=yadd;

e--;

}

drawPixel(dx,dy);

}

}

}

/*****

****UI

*
*/


b1.addEventListener(MouseEvent.CLICK,bt1Click);

b2.addEventListener(MouseEvent.CLICK,bt2Click);

function bt1Click(e:Event):void

{

theSize=int(t1.text);

darwLine(Number(t2.text),Number(t3.text),Number(t4.text),Number(t5.text));

}

function bt2Click(e:Event):void

{

datas.fillRect(newRectangle(0,0,550,400),0x000000);

}

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