欧拉定理 (证明+在求逆元上的应用)
欧拉定理（又称费马-欧拉定理）：已知a和n为正整数，并且a和p互素，则a^phi(n) ≡ 1(mod n)。
证明：
设集合Z = {X1, X2, X3, .... , Xphi(n)}，其中Xi (i = 1, 2, .. phi(n))表示第i个不大于n与n互质的数。
考虑集合S = {a*X1(mod n), a*X2(mod n), ... ,a*Xphi(n) (mod n) }，则集合Z = S;
1) 因为a和n互质，Xi和n也互质，所以a*Xi 也与n互质。所以对任意一个Xi，a*Xi (mod n)一定是Z里面的元素;
2)对于任意Xi, Xj, 如果Xi != Xj，则a*Xi(mod n) != a*Xj(mod n);
所以S = Z；
那么 (a*X1*a*X2*...*a*Xphi(n))(mod n) ---------------------------------------------------- (1)
= (a*X1(mod n)* a*X2(mod n)* ... *a*Xphi(n) (mod n)) (mod n)
= (X1* X2* X3* .... * Xphi(n)) (mod n) ------------------------------------------------------ (2)
式(1)整理得 [a^phi(x) * (X1* X2* X3* .... * Xphi(n))] (mod n)
与(2)式一同消去 (X1* X2* X3* .... * Xphi(n))，即得 a^phi(x) ≡ 1 (mod n)；
逆元 ：(b/a) (mod n) = (b * x) (mod n)。 x表示a的逆元。并且 a*x ≡ 1 (mod n)
因为a^phi(x) ≡ 1 (mod n)，所以x可以表示为a^(phi(n) - 1)。