Catalan数 && 【NOIP2003】出栈序列统计

令h(1)=1, h(0)=1，catalan数满足递归式：

h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)h(0) (n>=2)

　　=C(2n, n)/(n+1)

　　=h(n-1)*2(2n-1)/(n+1)

具体推导请百度，这里只需记得推导公式为h(n)=h(n-1)*2(2n-1)/(n+1)即可。

我们来说说这个的应用吧，从catalan数的定义递归定义可以看出，它是由自己 本身的一部分和n减去一部分 的和得到的，也就是说，有n个物品，1个物品进行操作1，n-1个不同任意排列物品进行操作2，即有h(0)*h(n-1)中方式；2个不同任意排列物品进行操作1，n-2个不同任意排列物品进行操作2，即有h(1)*h(n-2)种方式（乘法原理）……，然后问，n个物品有多少种方式使得不同物品进行不同种操作。根据乘法原理和加法原理，学过dp的很容易就能推导出卡特兰数的递归方程了。

应用：就如我上面所说。

例题：

1.括号化问题。
　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

2.出栈次序问题。
　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? (h(n)种)
　　类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3.将多边行划分为三角形问题。
　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
　　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4.给顶节点组成二叉树的问题。
　　给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？（能构成h(N)个）

 

下面是noip2003普及组的题目（噗。。我普及的题都不会。）

方法和上面的一样，直接O(n)，这里注意，由于本题数据小，所以没事，到数据很大又没让取模。。那就高精吧。

#include <cstdio>

using namespace std;



int main() {

	int n, ans=1;

	scanf("%d", &n);

	for(int i=2; i<=n; ++i)

		ans=ans*((i<<2)-2)/(i+1);

	printf("%d\n", ans);

	return 0;

}