Algorithm: 匈牙利算法

例子： poj3041

解法： 摘自http://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6647040

把方阵看做一个特殊的二分图（以行列分别作为两个顶点集V1、V2，其中| V1|=| V2|）

然后把每行x或者每列y看成一个点，而障碍物(x,y)可以看做连接x和y的边。按照这种思路构图后。问题就转化成为选择最少的一些点(x或y)，使得从这些点与所有的边相邻，其实这就是最小点覆盖问题。

 

再利用二分图最大匹配的König定理：

最小点覆盖数 = 最大匹配数

 

（PS：最小点覆盖：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖图的所有的边。）

 

因此本题自然转化为求 二分图的最大匹配 问题

 

 

求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。

因此，需要寻求一种更加高效的算法——用增广路求最大匹配的方法（匈牙利算法）

 

增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

 

　由增广路的定义可以推出下述三个结论：

　　1、P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

2、将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M’

   （反操作：把P中的 匹配边 与 非匹配边 互换）

3、M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径P

 

　匈牙利算法轮廓：

　　(1)置M为空

　　(2)找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M’代替M

(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止

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 3 

 4 #include<iostream>

 5 using namespace std;

 6 

 7 int n,k;  //n矩阵规格，k星体数量

 8 int V1,V2;       //二分图顶点集

 9  /*矩阵的行列分别属于二分图的两个顶点集V1、V2，其中行x∈V1，列y∈V2*/

10 bool grid[501][501];  //存储数据方式：可达矩阵

11 bool vis[501];     //记录V2的点每个点是否已被搜索过

12 int link[501];     //记录 V2中的点y 在 V1中 所匹配的点x的编号

13 int m;  //最大匹配数

14 

15 /*Hungary Algorithm*/

16 

17 bool dfs(int x)

18 {

19     for(int y=1;y<=V2;y++)

20         if(grid[x][y] && !vis[y])  //x到y相邻(有边) 且 节点y未被搜索

21         {

22             vis[y]=true;   //标记节点y已被搜索

23             if(link[y]==0 || dfs(link[y])) //link[y]==0 : 如果y不属于前一个匹配M

24             {                               //find(link[y] : 如果被y匹配到的节点可以寻找到增广路

25                 link[y]=x; //那么可以更新匹配M'(用M替代M')

26                 return true;  //返回匹配成功的标志

27             }

28         }

29     return false;  //继续查找V1下一个x的邻接节点

30 }

31 

32 void search(void)

33 {

34     for(int x=1;x<=V1;x++)

35     {

36         memset(vis,false,sizeof(vis)); //清空上次搜索时的标记

37         if(dfs(x))  //从V1中的节点x开始寻找增广路

38             m++;

39     }

40     return;

41 }

42 

43 int main(void)

44 {

45     cin>>n>>k;

46     V1=V2=n;

47 

48     int x,y;         //坐标(临时变量)

49     for(int i=1;i<=k;i++)

50     {

51         cin>>x>>y;

52         grid[x][y]=true;   //相邻节点标记

53     }

54 

55     /*增广轨搜索*/

56 

57     search();

58 

59     /*Output*/

60 

61     cout<<m<<endl;

62 

63     return 0;

64 }

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