Hlg 1755 【组合数学】.cpp

题意：

　　问n封信中前m封信全都不是自己应该得到的情况数..

 

思路：

　　3种方法：

　　①. 记忆化搜索..

　　　  比如有n个，k个错排的话。总排列数数n!

　　　　　然后这n!个要减掉不符合题意的

　　　　　　就是k个中1个没有错排，2个没有错排,....k个没有错排
　　　　　　如果k个中1个没有错排的话，就是 C[k][1]*(n-1个中k-1个错排)
　　　　　　f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2])

　    ②. DP..

　　　　如果用dp[i][j]表示i个人中前j个人是错排的..

　　　　　　那可以看成i个人中前j个人中某一个人的错排是由4种情况得到的..1st：前j个人中有1个人跟他错排了..而且正好是互换位置了..那就是dp[i-2][j-2]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2ed： 前j个人中1个人跟他错排了..但是不是互换位置的..那就是dp[i-1][j-1]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3rd：后i-j个人中有一个和他错排了..而且正好互换位置了..那就是dp[i-2][j-1]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   4th：后i-j个人中有一个人和他错排了..但是不是互换位置..那就是dp[i-1][j]

　　　　　　所以递推公式是：dp[i][j] = (j-1)(dp[i-2][j-2]+dp[i-2][j-1])+(i-j)(dp[i-2][j-1]+dp[i-1][j])

　　　　　　　　所以只有确定一些基础状态就可以推出后面的状态了..

　　　　③. 用组合数学..

　　　　　　在后面的n-m个人中找i(0~n-m)个人与前面的m个人进行错排..所以就是(m+i)个人错排的数量*(n-m个人中选i个人的情况数)

　　　　　　

Tips：

　　错排公式为 f[i] = (i-1)*(f[i-1]+f[i-2])

　　组合数的公式可以由前两个公式得来..即：C[i][j] = C[i-1][j]+C[i-1][j-1]

　　因为两个数相乘的时候还是有可能大于整型的..所以应该用long long..

 

Code：

　　

第三种方法..

 1 #include <stdio.h>

 2 #include <cstring>

 3 #define LL long long

 4 

 5 const int mod = 1000000007;

 6 LL C[1010][1010], P[1010];

 7 LL f[1010], dp[1010][15];

 8 

 9 void init()

10 {

11     memset(dp, 0, sizeof(dp));

12     C[0][0] = 1;

13     for (int i = 1; i < 1010; ++i) {

14         C[i][0] = C[i][i] = 1;

15         for (int j = 1; j < i; ++j) {

16             C[i][j] = C[i-1][j-1]+C[i-1][j];

17             C[i][j] %= mod;

18         }

19     }

20 

21     P[0] = P[1] = 1;

22     for (int i = 2; i < 1010; ++i) {

23         P[i] = i*P[i-1];

24         P[i] %= mod;

25     }

26 

27     f[0] = f[1] = 0, f[2] = 1;

28     for (int i = 3; i < 1010; ++i) {

29         f[i] = (i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);

30         f[i] %= mod;

31     }

32 }

33 

34 int main()

35 {

36     int n, m;

37     init();

38     while (~scanf("%d %d", &n, &m)) {

39         if (dp[n][m] == 0) {

40             for (LL i = 0; i <= n-m; ++i) {

41                 dp[n][m] += C[n-m][i]%mod*f[i+m]%mod;

42                 dp[n][m] %= mod;

43             }

44         }

45         printf("%lld\n", dp[n][m]%mod);

46     }

47     return 0;

48 }

 

链接：http://acm.hrbust.edu.cn/index.php?m=ProblemSet&a=showProblem&problem_id=1755