第一届『Citric杯』NOIP提高组模拟赛 题解
【官方题解】第一届『Citric杯』NOIP提高组模拟赛 题解
第一题 柠檬超市
这题是本次模拟赛的送分题。做法显然。
但是注意此题有一个陷阱：
注意W和C的规模都是10^9，所以如果直接用double来存储性价比会挂精度（999999999/1000000000和999999998/999999999的差距只有10^-18，这么微小的差距double是分辨不出来的）
正确做法是，把除法的除数移项，转化成乘法，然后用int64或long long。
另外一个讨巧的方法是用long double或extended来存储性价比，因为long double/extended的有效数字比double更多，所以勉强能不挂精度。
很不幸，如果挂精度的话就只有20分了。
需要的知识：模拟
代码长度 小于0.5KB.
第二题 柠檬的坦克游戏
此题20%数据的做法显然，直接照着题目要求模拟即可，O(N^3)
此题40%数据做法也比较简单，有两个做法：
1.对20%的做法进行改进，预先对所有的武器按D值排序，这样查找有没有更优的武器时直接查找D值比它大的就行了，时间复杂度可以证明被均摊到了O(N^2)。
2.依然预先对所有武器按D值从小到大排序，然后每次扫一遍，用一个单调栈维护即可，只要遇到R值比栈顶大就弹栈，否则入栈。扫一次就能得出一组，也是O(N^2)的。
此题满分做法是对上一个做法的改进。
仔细观察题目的流程，我们可以发现一个更优的做法。
首先我们发现同一组内的武器，按D值从大到小排序后，R值必然也是从小到大的。
而且我们发现，如果一件武器A的D值比另一件武器B的D值大，那么武器B不会影响到武器A的分组。
于是考虑把武器按D值从大到小排序，然后逐个加入武器，并为新加入的武器找到合适的组。因为在新加入一件武器之前，我们已经加入了所有D值更大的武器，而剩下的武器都不会影响当前武器的分组，所以现在得出的组号就是最终的组号。
假设D值最大的前x个武器已经全部加入组，而且现在已经有k组了，定义第i组里最大的R值为maxR(i)，那么我们发现maxR(i)必然随i递减。
我们考虑加入第x+1个武器，我们发现，按照题目要求，这件武器必然会加入到第i组，i是最小的让maxR(i)<D成立的i值。
于是我们直接用数组存储所有组的maxR，新加入武器时二分查找到加入位置，然后更新对应的那个maxR即可。
时间复杂度O(NlgN)
需要的知识： 二分查找
代码长度 0.5KB ~ 1KB
第三题 柠檬当上了JC局长！
此题20%数据做法显然，直接爆搜即可。
想要得到更高的分数，首先我们要观察一些性质。
首先，我们发现罪犯的逃跑方式，实际是在给定图的点1的最短路径图上，从根开始，每次随机选择一个孩子移动，移动到叶子后如果还没被抓到就失败了。
而且，题目保证了从结点1到任意结点的最短路唯一，所以点1的最短路径图实际是一棵树！
于是，我们可以先做一次点1为源点的dijkstra或直接floyd，把点1的最短路径树建立出来。
然后问题就变成了，给定一棵树，你可以在树的结点上设置埋伏，以获得最高的抓捕成功几率。
我们发现一个非常显然的动态规划状态：dp[i][j]在点i为根的子树内共设置j个**，罪犯到达i后能获得的最高成功率。
那么50%数据的做法就非常显然了。
因为我们保证了任意一个结点度数不超过3，也就是每个结点最多只有2个孩子（根可能有3个孩子，不过这不会影响复杂度）
于是我们转移时，暴力枚举根以及其孩子分别分配到了多少个人进行埋伏。时间复杂度是O(N*P^4)
进一步思考，很容易得出满分做法。
我们发现，在一个结点上所要进行的分配人力的任务，实际是一个背包。于是在结点上做一个背包即可。
但是注意这个背包是以当前结点的所有的孩子做背包，然后因为当前节点抓捕失败后才能往孩子走，所以当前结点要枚举埋伏人数，才能得出最终的答案。
时间复杂度是O(N*P^2)
需要的知识：最短路径算法、最短路径树的概念、背包DP、树形DP
代码长度 1KB～2KB
数据和标程的下载地址： http://pan.baidu.com/share/link?shareid=3747&uk=2249476017
最后，感谢诸位的参与。感谢Vani,kAc,applepi等人的验题
PS：以上是sillycross大神的官方题解，他写的是pascal，我等c++支持者便是抓瞎，当然，我真的没看他的代码。因为看了也不懂。
以下是我自己写的c++的代码，大神不要BS我啊！
第一题：我这个蒟蒻，一看大水，果断5分钟敲完交了，没想精度问题，果断20分。。
View Code
1 #include <cstdio> 2 #include <cstdlib> 3 using namespace std; 4 __int64 ans,n,s,w,c,i,fz=0,fm=1; 5 void read() 6 { 7 scanf("%I64d%I64d",&n,&s); 8 for(i=1;i<=n;i++) 9 { 10 scanf("%I64d%I64d",&w,&c); 11 if(c<=s) 12 { 13 if(fz*c<fm*w) 14 { 15 fz=w; 16 fm=c; 17 ans=i; 18 } 19 } 20 } 21 printf("%I64d",ans); 22 } 23 int main() 24 { 25 read(); 26 system("pause"); 27 return 0; 28 }
第二题：我表示我一看n^2的算法了，懒得写了，直接模拟的，rp不错，骗了30分。其实仔细想想nlogn也不是很难，还是做题缺乏深入思考。跪地。
View Code
1 #include <cstdio> 2 #include <cstdlib> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 int n,maxr[100010],cnt,len,num; 6 struct P 7 { 8 int d,r,id,bh; 9 }p[100010]; 10 bool cmp(const P &x,const P &y) 11 { 12 return x.d>y.d; 13 } 14 bool cmp2(const P &x,const P &y) 15 { 16 return x.id<y.id; 17 } 18 void read() 19 { 20 scanf("%d",&n); 21 for(int i=1;i<=n;i++) 22 { 23 scanf("%d%d",&p[i].d,&p[i].r); 24 p[i].id=i; 25 } 26 sort(p+1,p+1+n,cmp); 27 } 28 void go() 29 { 30 len=1; 31 maxr[len]=p[1].r; 32 p[1].bh=1; 33 for(int i=2;i<=n;i++) 34 { 35 if(p[i].r<maxr[len]) 36 { 37 len++; 38 maxr[len]=p[i].r; 39 p[i].bh=len; 40 } 41 else 42 { 43 int l=1,r=len; 44 while(l<=r) 45 { 46 int mid=(l+r)>>1; 47 if(maxr[mid]<p[i].r) num=mid,r=mid-1; 48 else l=mid+1; 49 } 50 maxr[num]=p[i].r; 51 p[i].bh=num; 52 } 53 } 54 sort(p+1,p+1+n,cmp2); 55 for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",p[i].bh); 56 } 57 int main() 58 { 59 read(); 60 go(); 61 system("pause"); 62 return 0; 63 }
第三题：到晚体觉得肚子疼，于是乎去厕所蹲了一会儿，突然来了灵感，发现这是一棵树，因为周克华走的永远是最短路，而spfa可以记录最短路的前继，利用这个前继来建树，剩下的就是树形DP+背包了。。可惜概率算错了。。就得了30分。。继续跪！
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1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdlib> 4 #include <iostream> 5 using namespace std; 6 int n,m,cnt=1,a,b,c,start,h,t,head[220],next[20020],to[20020],len[20020],s,dis[220],que[500200]; 7 double dp[220][220],jl[220][220],f[220]; 8 bool vis[220]; 9 int pre[220],son[220]; 10 void add(int v,int u,int w) 11 { 12 len[cnt]=w; to[cnt]=u; next[cnt]=head[v]; head[v]=cnt++; 13 } 14 void read() 15 { 16 scanf("%d%d",&n,&m); 17 for(int i=1;i<=m;i++) 18 { 19 scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); 20 add(a,b,c); add(b,a,c); 21 } 22 scanf("%d",&s); 23 for(int i=1;i<=n;i++) 24 for(int j=1;j<=s;j++) 25 scanf("%lf",&jl[i][j]); 26 } 27 void spfa() 28 { 29 start=1; 30 memset(dis,0x3f,sizeof dis); 31 h=1;t=2; 32 que[1]=start; 33 vis[start]=true; 34 dis[start]=0; 35 while(h<t) 36 { 37 int sta=que[h++]; 38 vis[sta]=false; 39 for(int i=head[sta];i;i=next[i]) 40 { 41 if(dis[to[i]]>dis[sta]+len[i]) 42 { 43 dis[to[i]]=dis[sta]+len[i]; 44 pre[to[i]]=sta; 45 if(vis[to[i]]==false) 46 { 47 vis[to[i]]=true; 48 que[t++]=to[i]; 49 } 50 } 51 } 52 } 53 } 54 void create() 55 { 56 memset(head,0,sizeof head); 57 cnt=1; 58 for(int i=2;i<=n;i++) 59 add(pre[i],i,1); 60 for(int i=1;i<=n;i++) 61 for(int j=head[i];j;j=next[j]) 62 son[i]++; 63 } 64 void dfs(int u) 65 { 66 for(int i=1;i<=s;i++) dp[u][i]=jl[u][i]; 67 if(head[u]==0) return; 68 69 for(int i=head[u];i;i=next[i]) dfs(to[i]); 70 for(int i=0;i<=s;i++) f[i]=0.0; 71 72 for(int i=head[u];i;i=next[i]) 73 for(int j=s;j>=0;j--) 74 for(int k=0;k<=j;k++) 75 f[j]=max(f[j],f[j-k]+dp[to[i]][k]); 76 77 for(int i=0;i<=s;i++) f[i]=f[i]/double(son[u]); 78 for(int i=0;i<=s;i++) 79 for(int j=0;j+i<=s;j++) 80 dp[u][i+j]=max(dp[u][i+j],f[j]*(1.0-jl[u][i])+jl[u][i]); 81 } 82 void gogo() 83 { 84 dfs(1); 85 printf("%.4lf",dp[1][s]); 86 } 87 void go() 88 { 89 spfa(); 90 create(); 91 gogo(); 92 } 93 int main() 94 { 95 read(); 96 go(); 97 return 0; 98 }
总体来说这套题的难度还是低于NOIP的，（这么低分，你也好意思说！），应该得到的教训就是，简单题只要做了就必须拿满分！还有就是，思考完善了再动手敲代码！