POJ 2195（KM模板题）

题意简述：

比较好理解，给定一个N*M的地图，地图上有若干个man和house，且man与house的数量一致。man每移动一格需花费$1（即单位费用=单位距离），一间house只能入住一个man。现在要求所有的man都入住house，求最小费用。（题意转自：http://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6732762）

 

思路：

嗯，这个见图可以说没什么难度吧，明摆着怎么建图么。。需要注意的是，KM求的是最大权匹配，而题木要求是最小，这个好处理，把边的权值全部取相反数，然后做KM，最后把ans取相反数即可

 

View Code

 1 #include <cstdio>

 2 #include <cstdlib>

 3 #include <cstring>

 4 #include <cmath>

 5 #define INF 10000000

 6 using namespace std;

 7 char ls[120][120];

 8 int map[120][120],ax[120],bx[120],ay[120],by[120],n,m,cnta,cntb,slack[120],lx[120],ly[120],linky[120];

 9 bool visx[120],visy[120];

10 void read()

11 {

12     memset(map,0,sizeof map);

13     cnta=cntb=0;

14     for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",ls[i]+1);

15     for(int i=1;i<=n;i++)

16         for(int j=1;j<=m;j++)

17         {

18             if(ls[i][j]=='m')

19             {

20                 cnta++;

21                 ax[cnta]=i; ay[cnta]=j;

22             }

23             else if(ls[i][j]=='H')

24             {

25                 cntb++;

26                 bx[cntb]=i; by[cntb]=j;

27             }

28         }

29     for(int i=1;i<=cnta;i++)

30         for(int j=1;j<=cntb;j++)

31             map[i][j]=-(abs(ax[i]-bx[j])+abs(ay[i]-by[j]));

32 }

33 bool find(int u)

34 {

35     visx[u]=true;

36     for(int i=1;i<=cntb;i++)

37     {

38         if(visy[i]) continue;

39         int t=lx[u]+ly[i]-map[u][i];

40         if(t==0)

41         {

42             visy[i]=true;

43             if(linky[i]==-1||find(linky[i]))

44             {

45                 linky[i]=u;

46                 return true;

47             }

48         }

49         else if(slack[i]>t) slack[i]=t;

50     }

51     return false;

52 }    

53 void KM()

54 {

55     memset(linky,-1,sizeof linky);

56     memset(lx,0,sizeof lx);

57     memset(ly,0,sizeof ly);

58     for(int i=1;i<=cnta;i++)

59         for(int j=1;j<=cntb;j++)

60             if(map[i][j]>lx[i]) lx[i]=map[i][j];

61     for(int k=1;k<=cnta;k++)

62     {

63         for(int i=1;i<=cnta;i++) slack[i]=INF;

64         while(1)

65         {

66             memset(visx,0,sizeof visx);

67             memset(visy,0,sizeof visy);

68             if(find(k)) break;

69             int d=INF;

70             for(int i=1;i<=cntb;i++)

71                 if(!visy[i]&&d>slack[i]) d=slack[i];

72             for(int i=1;i<=cnta;i++)

73                 if(visx[i]) lx[i]-=d;

74             for(int i=1;i<=cntb;i++)

75             {

76                 if(visy[i]) ly[i]+=d;

77                 else slack[i]-=d;

78             }   

79         }

80     }

81 }

82 void getans()

83 {

84     int ans=0;

85     for(int i=1;i<=cnta;i++) ans+=map[linky[i]][i];

86     printf("%d\n",-ans);

87 }

88 int main()

89 {

90     while(scanf("%d%d",&n,&m))

91     {

92         if(n==0&&m==0) break;

93         read();

94         KM();

95         getans();

96     }

97     return 0;

98 }

 

算法拓展：

[二分图带权匹配与最佳匹配]

什么是二分图的带权匹配？二分图的带权匹配就是求出一个匹配集合，使得集合中边的权值之和最大或最小。而二分图的最佳匹配则一定为完备匹配，在此基础上，才要求匹配的边权值之和最大或最小。二分图的带权匹配与最佳匹配不等价，也不互相包含。

我们可以使用KM算法实现求二分图的最佳匹配。方法我不再赘述，可以参考tianyi的讲解。KM算法可以实现为O(N^3)。

[KM算法的几种转化]

KM算法是求最大权完备匹配，如果要求最小权完备匹配怎么办？方法很简单，只需将所有的边权值取其相反数，求最大权完备匹配，匹配的值再取相反数即可。

KM算法的运行要求是必须存在一个完备匹配，如果求一个最大权匹配(不一定完备)该如何办？依然很简单，把不存在的边权值赋为0。

KM算法求得的最大权匹配是边权值和最大，如果我想要边权之积最大，又怎样转化？还是不难办到，每条边权取自然对数，然后求最大和权匹配，求得的结果a再算出e^a就是最大积匹配。至于精度问题则没有更好的办法了。

[求最小(大)权匹配的费用流建模方法]

求最小(大)权匹配，可以用最小(大)费用最大流的方法。和二分图最大匹配的构图方法类似，添加附加源S和附加汇T，从S向二分图X集合中每个顶点连接一条权值为0，容量为1的有向边，从Y集合中每个顶点向T也连接一条权值为0，容量为1的有向边。然后把原有的边变成容量为1，权值不变的有向边。求从S到T的最小(大)费用最大流，就能求得最小(大)权匹配。

上述建模求最大权匹配的方法求得的一定是最佳匹配(如果存在完备匹配)，因为S到X集合每条边全部满流。如下图所示，最小费用最大流为2。

要求最大权匹配(不一定完备匹配)。如下图，只需再引入一个顶点A，从X集合的每个顶点向A连接一条容量为1，权值为0的边，然后再由A向T连接一条权值为0，容量不小于|X|的边，求最大费用最大流，这时是100。

最小权匹配也类似，不过新加的边权要为一个极大值，大于所有已有边权值。

[KM算法与费用流的比较]

从理论上分析，KM算法的时间复杂度比费用流要好，但是实际上和较好的费用流算法比起来运行效率是差不多的，KM算法优势仅仅在于编程容易。KM算法也有其不可避免的局限性，就是必须用邻接矩阵来表示。这样会浪费很多的空间，尤其是图相当稀疏的时候。而对于十分稀疏的图，许多优秀的费用流算法效率是很高的。这并不说明KM算法不如费用流，毕竟在信息学竞赛中，编程的复杂度也是一个相当重要的需要考虑的因素。

（转自：http://www.byvoid.com/blog/match-km/）

 

 

具体模板和讲解请看：

http://cuitianyi.com/blog/%E6%B1%82%E6%9C%80%E5%A4%A7%E6%9D%83%E4%BA%8C%E5%88%86%E5%8C%B9%E9%85%8D%E7%9A%84km%E7%AE%97%E6%B3%95/

 

在此感谢以上两位大神的文章！