poj 1222 EXTENDED LIGHTS OUT 高斯消元法

http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1222

题意:有一个5*6的方阵,每个位置都表示按钮和灯,1表示亮,0表示灭。每当按下(i,j)时,(i,j)和(i-1,j)、(i+1,j)、

(i,j-1)(i,j+1)都会改变,亮的变灭,灭的变亮;问在这样的一个方阵中按下哪些按钮可以把整个方阵都变成灭的,这时1表示按了,

0表示没按。

此题也可以用枚举来写:http://iiacm.net/2010/07/pku-1222-extended-lights-out/

转载分析:这个游戏的名字叫做Lights Out。一个板子上面有MxN个按钮,按钮也是灯。每次按下一个按钮,这个按钮和它的上下左右相邻按钮将同时切换各自的亮灭状态。给你一个初始状态,请给出一种方法,按某些按钮,使得所有的灯都灭。

这个游戏有一些技巧:
1、按按钮的顺序可以随便。
2、任何一个按钮都最多需要按下1次。因为按下第二次刚好抵消第一次,等于没有按。

这个问题可以转化成数学问题。
一个灯的布局可以看成一个0、1矩阵。以3x3为例:
0 1 0
1 1 0
0 1 1
表示一个布局。其中0表示灯灭,1表示灯亮。
每次按下按钮(POJ1222)或者叫一个宿舍关灯(0998),可以看成在原矩阵上加(模2加,就是按位异或)上一个如下的矩阵:
0 1 0
1 1 1
0 1 0
上述矩阵中的1表示按下第2行第2列的按钮时,作用的范围。如果按左上角的按钮,就是:
1 1 0
1 0 0
0 0 0

我们记L为待求解的原始布局矩阵。A(i,j)表示按下第i行第j列的按钮时的作用范围矩阵。在上述例子中,
L=
0 1 0
1 1 0
0 1 1

A(1,1)=
1 1 0
1 0 0
0 0 0

A(2,2)=
0 1 0
1 1 1
0 1 0

假设x(i,j)表示:想要使得L回到全灭状态,第i行第j列的按钮是否需要按下。0表示不按,1表示按下。那么,这个游戏就转化为如下方程的求解:
L + x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + ... + x(3,3)*A(3,3) = 0

其中x(i,j)是未知数。方程右边的0表示零矩阵,表示全灭的状态。直观的理解就是:原来的L状态,经过了若干个A(i,j)的变换,最终变成0:全灭状态。
由于是0、1矩阵,上述方程也可以写成:
x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + ... + x(3,3)*A(3,3) = L

这是一个矩阵方程。两个矩阵相等,充要条件是矩阵中每个元素都相等。将上述方程展开,便转化成了一个9元1次方程组:

简单地记做:AA * XX = LL

这个方程有唯一解:
x(1,1) x(1,2) x(1,3)
x(2,1) x(2,2) x(2,3)
x(3,1) x(3,2) x(3,3)
=
1 1 1
0 0 0
0 0 1

也就是说,按下第一行的3个按钮,和右下角的按钮,就

能使L状态变成全灭状态。
对于固定行列的阵列来说,AA矩阵也是确定的。是否存在解,解是否唯一,只与AA矩阵有关。对于唯一解的情形,只要将LL乘以AA的逆矩阵即可。具体求AA的逆矩阵的方法,可以用高斯消元法。
由于是0、1矩阵,上述方程也可以写成:

将1式两边同时加上一个L矩阵就可以变成
x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + ... + x(3,3)*A(3,3) = L

A(1,1)把矩阵 转化为一个列向量,L也转化为一个列向量,

将sigma xi*Ai=Li 对应位置的值相等就可以建立方程组了

X1*A(1,1)1+X2*A(1,2)1+X3*A(1,3)1+…………X30*A(30,30)1=L1;    mod 2

X1*A(1,1)2+X2*A(1,2)2+X3*A(1,3)2+…………X30*A(30,30)2=L2;    mod 2

X1*A(1,1)3+X2*A(1,2)3+X3*A(1,3)3+…………X30*A(30,30)3=L3    mod 2

…….

…….

…….

X1*A(1,1)30+X2*A(1,2)30+X3*A(1,3)30+…………X30*A(30,30)30=L30; mod 2

其中A(i,j)k 表示列向量A中第K个元素

这里的*表示点乘,Xi取(1,0) +表示模2加法,所以在高斯消元的时候可以用^异或运算

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01.#include<iostream>  
02.using namespace std;  
03.int map[35][35];  
04.int ans[35];  
05.int Gauss()     //高斯消元法  
06.{  
07.    int i, j, k, r;  
08.    for(k=0; k<30; k++)  
09.    {  
10.        i = k;  
11.        while(i<30 && map[i][k]==0)  i++;  
12.        if(i > k)  
13.        {  
14.            for(r=0; r<=30; r++)  
15.                swap(map[i][r], map[k][r]);  
16.        }  
17.        for(i=0; i<30; i++)  
18.        {  
19.            if(i != k && map[i][k])  
20.            {  
21.                for(j=0; j<=30; j++)  
22.                    map[i][j] ^= map[k][j];     //高斯消元的^异或运算;  
23.            }  
24.        }  
25.    }  
26.    /*for(i=0; i<30; i++) 
27.    { 
28.        for(j=0; j<30; j++) 
29.            printf("%d",map[i][j]); 
30.        printf("\n"); 
31.    }*/ 
32.    for(i=0; i<30; i++)      //求出结果;  
33.        if(map[i][30])  
34.        {  
35.            for(j=0; j<30 && !map[i][j]; j++)  ;  
36.            if(j == 30) return 0;  
37.            else 
38.                ans[j] = map[i][30];  
39.        }  
40.    return 1;  
41.}  
42.int main()  
43.{  
44.    int i,j,k,kn,km,kx,ky,t;  
45.    scanf("%d",&t);  
46.    for(k=1; k<=t; k++)  
47.    {  
48.        memset(map, 0, sizeof(map));  
49.        for(i=0; i<30; i++)  
50.        {  
51.            scanf("%d", &map[i][30]);  
52.            ans[i] = 0;  
53.        }  
54.        /*for(i=0; i<30; i++)    //这个也是构造方程的,但是不知道为什么错了; 
55.        { 
56.            map[i][i] = 1; 
57.            if(i % 6 != 1) map[i-1][i] = 1; 
58.            if(i % 6 != 0) map[i+1][i] = 1; 
59.            if(i >= 6) map[i-1][i] = 1; 
60.            if(i <= 23) map[i+6][i] = 1; 
61.        }*/ 
62.        for(i=0; i<30; i++)      //构造30个方程  
63.        {  
64.            kn = i / 6;  
65.            km = i % 6;  
66.            for(j=0; j<30; j++)  
67.            {  
68.                kx = j / 6;   
69.                ky = j % 6;  
70.                if(abs(kx - kn) + abs(ky - km) <= 1)  
71.                    map[i][j] = 1;  
72.                else 
73.                    map[i][j] = 0;  
74.            }  
75.        }  
76.        /*for(i=0; i<30; i++) 
77.        { 
78.            for(j=0; j<30; j++){ 
79.            printf("%d", map[i][j]);} 
80.            printf("\n"); 
81.        }*/ 
82.        Gauss();  
83.        printf("PUZZLE #%d\n",k);  
84.        for(i=0; i<30; i++)  
85.        {  
86.            printf("%d", ans[i]);  
87.            if((i+1) % 6 == 0)  
88.                printf("\n");  
89.            else 
90.                printf(" ");  
91.        }  
92.    /// printf("\n");  
93.    }  
94.    return 0;  
95.} 
#include<iostream>
using namespace std;
int map[35][35];
int ans[35];
int Gauss()  //高斯消元法
{
 int i, j, k, r;
 for(k=0; k<30; k++)
 {
  i = k;
  while(i<30 && map[i][k]==0)  i++;
  if(i > k)
  {
   for(r=0; r<=30; r++)
    swap(map[i][r], map[k][r]);
  }
  for(i=0; i<30; i++)
  {
   if(i != k && map[i][k])
   {
    for(j=0; j<=30; j++)
     map[i][j] ^= map[k][j];  //高斯消元的^异或运算;
   }
  }
 }
 /*for(i=0; i<30; i++)
 {
  for(j=0; j<30; j++)
   printf("%d",map[i][j]);
  printf("\n");
 }*/
 for(i=0; i<30; i++)  //求出结果;
  if(map[i][30])
  {
   for(j=0; j<30 && !map[i][j]; j++)  ;
   if(j == 30) return 0;
   else
    ans[j] = map[i][30];
  }
 return 1;
}
int main()
{
 int i,j,k,kn,km,kx,ky,t;
 scanf("%d",&t);
 for(k=1; k<=t; k++)
 {
  memset(map, 0, sizeof(map));
  for(i=0; i<30; i++)
  {
   scanf("%d", &map[i][30]);
   ans[i] = 0;
  }
  /*for(i=0; i<30; i++) //这个也是构造方程的,但是不知道为什么错了;
  {
   map[i][i] = 1;
   if(i % 6 != 1) map[i-1][i] = 1;
   if(i % 6 != 0) map[i+1][i] = 1;
   if(i >= 6) map[i-1][i] = 1;
   if(i <= 23) map[i+6][i] = 1;
  }*/
  for(i=0; i<30; i++)  //构造30个方程
  {
   kn = i / 6;
   km = i % 6;
   for(j=0; j<30; j++)
   {
    kx = j / 6;
    ky = j % 6;
    if(abs(kx - kn) + abs(ky - km) <= 1)
     map[i][j] = 1;
    else
     map[i][j] = 0;
   }
  }
  /*for(i=0; i<30; i++)
  {
   for(j=0; j<30; j++){
   printf("%d", map[i][j]);}
   printf("\n");
  }*/
  Gauss();
  printf("PUZZLE #%d\n",k);
  for(i=0; i<30; i++)
  {
   printf("%d", ans[i]);
   if((i+1) % 6 == 0)
    printf("\n");
   else
    printf(" ");
  }
 /// printf("\n");
 }
 return 0;
}


首先,我们可以把6*5个灯组成的矩阵看成是一个1*30的向量a 。

    然后,对于每一个开关 i ,我们也构造一个1*30的向量d(i),一个开关最多控制5个灯,其中开关状态改变则为1,不改变就为0,这样我们可以把30个开关的向量组成一个30*30的矩阵。

       我们在构造一个30*1的向量ans,也就是我们要求的结果,ans[ i ]为1,表示需要按下第 i个开关,0表示不需要。这样ans*d=a(mod 2),(d 是30*30 的矩阵)就转化为解方程的问题了。

       至于解方程,就没什么可说的了,就是用线代里面讲的方法就可以了。因为这里要模2,所以可以我们可以直接用计算机的异或运算。
 


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