python做的lambda 演算示例

所有关于函数式编程的介绍中都指明 lambda演算是函数式编程的数学基础。死了不少脑细胞研究了一下维基百科上关于lambda演算的介绍文章。

参考：http://en.wikipedia.org/wiki/Lambda_calculus

普通的数学运算用这个纯抽象的符号演算来定义，计算结果只能在脑子里存在。所以写了点代码，来验证文章中介绍的演算规则。

我们来验证文章里介绍的自然数及自然数运算规则。说到自然数，今天还百度了一下，据度娘说，1993年后国家规定0是属于自然数。先定义自然数及自然数的运算规则：

用lambda表达式定义自然数（邱齐数）

0 := λf.λx.x
1 := λf.λx.f x
2 := λf.λx.f (f x)
3 := λf.λx.f (f (f x))
...

上面定义直观的意思就是数字n, 是f(x)的n阶函数。1就是f(x), 2就是f(f(x))....，严格来说，这样表述并不准确。其实每个邱奇数都是一个二阶函数，它有两个变量f和x。用二元命名函数来表达就是：

0 -> num0(f,x)=x
1 -> num1(f, x)=f(x)
2 -> num2(f,x)=f(f(x))
3 -> num3(f,x)=f(f(f(x)))
...

 其中参数f是一个函数。这一段有点绕，但是不能理解这个，对后面的lambda演算理解会比较困难。

首先用递归法，定义邱齐数（自然数）

• 0是自然数，  度娘说1993年后，国家规定0是属于自然数。

• 每个自然数，都有一个后续。

用代码表达就是：

NUM0=lambda f: lambda x:x
SUCC=lambda n: lambda f: lambda x: f(n(f)(x))

后面则是定义运算符，包括加法，乘法，减法和幂。维基文章里没有介绍除法，估摸着除法定义比较复杂，一时讲不清楚。那我们也不验证了。

################################################
#define number calculus rules
################################################

#define Church numeral inductively.
#0 := λf.λx.x
#1 := λf.λx.f x
#2 := λf.λx.f (f x)
#3 := λf.λx.f (f (f x))
#...
NUM0=lambda f: lambda x:x
SUCC=lambda n: lambda f: lambda x: f(n(f)(x))

#define Operator
PLUS=lambda m: lambda n: m(SUCC)(n)
MULT= lambda m: lambda n: m(PLUS(n))(NUM0)
#define predecessor to obtain the previous number.
PRED= lambda n: lambda f: lambda x: n(lambda g: lambda h: h(g(f)))(lambda u:x)(lambda u:u)
SUB=lambda m: lambda n: n(PRED)(m)
POW=lambda b: lambda e: e(b)

定义完了什么是自然数和自然数的运算子。那么自然数的运算，就可以用lambda演算的方式计算了。

问题是上面的定义都是抽象的符号演算，我们需要有一个编码器来把上面的抽象的Church numeral符号编码成可以人来阅读的形式，还需把人输入的数字解码成抽象符号。

################################################
#create encoder to input/output Church numeral
################################################

class LambdaEncoding:
    @staticmethod
    def encoding(exp,encoder):
        return encoder().encoding(exp)
    @staticmethod
    def decoding(s, decoder):
        return decoder().decoding(s)
    
class NumEncoder:
    def encoding(self,num):
        f=lambda x:x+1
        return str(num(f)(0))
    def decoding(self,s):
        n=int(s)
        num=NUM0
        for i in range(n):
            num=SUCC(num)
        return num

嗯，有了编码器，就可以方便的来验证了。

################################################
#calculus demo
################################################
print("demo number calculus.\n"
      "don't input large number,"
      "it will cause to exceed maximum recursion depth!\n")

n1=input('input a number: ')
n2=input('input anohter number: ')
#decode string to Church numeral
num1=LambdaEncoding.decoding(n1,NumEncoder)
num2=LambdaEncoding.decoding(n2,NumEncoder)
    
#add
result=PLUS(num1)(num2)

print('{0} + {1} = {2}'.format(
    n1,
    n2,
    LambdaEncoding.encoding(result, NumEncoder)))

#mult
result=MULT(num1)(num2)
print('{0} X {1} = {2}'.format(
    n1,
    n2,
    LambdaEncoding.encoding(result, NumEncoder)))
#sub
result=SUB(num1)(num2)
print('{0} - {1} = {2}'.format(
    n1,
    n2,
    LambdaEncoding.encoding(result, NumEncoder)))

#POW
result=POW(num1)(num2)
print('{0} ^ {1} = {2}'.format(
    n1,
    n2,
    LambdaEncoding.encoding(result, NumEncoder)))

测试结果如下：

>>> 
demo number calculus.
don't input large number,it will cause to exceed maximum recursion depth!

input a number: 4
input anohter number: 3
4 + 3 = 7
4 X 3 = 12
4 - 3 = 1
4 ^ 3 = 64
>>>

神奇吧。