数据结构与算法的关系
离开算法谈数据结构是无法完全理解数据结构的。
算法定义
算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。
算法定义中，提到了指令，指令能被人或机器等计算装置执行。它可以是计算机指令，也可以是我们平时的语言文字。为了解决某个或某类问题，需要把指令表示成一定的操作序列，操作序列包括一组操作，每一个操作都完成特定的功能，这就是算法。
算法的特征
算法具有五个基本特性：输入，输出，有穷性，确定性和可行性。
输入输出：算法具有零个或多个输入，至少有一个或多个输出。有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。
算法设计的要求
正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入，输出和加工处理无岐义性，能正确反映问题的需求，能够得到问题的正确答案。可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读，理解和交流。健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。 时间效率高和存储量低：时间效率指的是算法的执行时间，对于同一个问题，如果有多个算法能够解决，执行时间短的算法效率高，执行时间长的效率低。存储量需求指的是算法在执行过程中需要的最大存储空间，主要指算法程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间。最好用最少的存储空间，花最少的时间，办成同样的事就是好的算法。
算法效率的度量方法
事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。这种方法有很大缺陷：
必须依据算法事先编制好的程序，这通常需要花费大量的时间和精力。
时间的比较依赖计算机硬件和软件等环境因素，有时会掩盖算法本身的优劣。
算法的测试数据设计困难，并且程序的运行时间往往还与测试数据的规模有很大关系，效率高的算法在小的测试数据面前往往得不到体现。
基于事后统计方法有这样那样的缺陷，我们考虑不予采纳。
事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。经过分析发现，一个用高级程序语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：
算法采用的策略，方法。
编译产生的代码质量。
问题的输入规模。
机器执行指令的速度。
第1条当然是算法好坏的根本，第2条要由软件来支持，第4条要看硬件性能。也就是说，抛开这些与计算机硬件，软件有关的因素，一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。所谓问题输入规模是指输入量的多少。测定运行时间最可靠的方法就是计算对运行时间有消耗的基本操作的执行次数。运行时间与这个计数成正比。我们不关心编写程序所用的程序设计语言是什么，也不关心这些程序将跑在什么样的计算机中，我们只关心它所实现的算法。
函数的渐近增长
我们现在来判断一下，两个算法A和B哪个更好。假设两个算法的输入规模都是n，算法A要做2n＋3次操作，你可以理解为先有一个n次循环，执行完成后，再有一个n次循环，最后有三次赋值或运行，共2n＋3次操作。算法B要做3n＋1次操作。你觉得它们谁更快呢？准确来说，答案是不一定的。如图：
当 n = 1时，算法A效率不如算法B（次数比算法B要多一次）。而当n＝2时，两者效率相同；当n＞2时，算法A就开始优于算法B了，随着n的增加，算法A比算法B越来越好了（执行的次数比B要少）。于是我们可以得出结论，算法A总体上要好于算法B。比时我们给出这样的定义，输入规模n在没有限制的情况下，只要超过一个数值N，这个函数就总是大于另一个函数，我们称函数是渐近增长的。
函数的渐近增长定义：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n＞N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。
我们来看第二个例子，算法C是4n＋8，算法D是2n*n + 1，如图：
当n<=3时，算法C要差于算法D（因为算法C次数比较多），但当n>3后，算法C的优势就越来越优于算法D了，到后来更是远远胜过。而当后面的常数去掉后，我们发现其实结果没有发生改变。甚至我们再观察发现，哪怕去掉与n相乘的常数，这样的结果也没有发生改变，算法C的次数随着n的增长，还是远小于算法D。也就是说，与最高次项相乘的常数并不重要。
我们来看最后一个例子。算法G是2n＊n，算法H是3n＋1，算法I是2n＊n ＋3n＋1，如图：
这组数据应该就看得很清楚。当n的值越来越大时，你会发现，3n＋1已经没法和2n＊n的结果相比较，最终几乎可以忽略不计。也就是说，随着n值变得非常大以后，算法G其实已经很趋近于算法I。于是我们可以得到这样一个结论，判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。
判断一个算法好不好，我们只通过少量的数据是不能做出准确判断的。根据刚才的几个样例，我们发现，如果我们可以对比这几个算法的关键执行次数函数的渐近增长性，基本就可以分析出：某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。这其实就是事前估算方法的理论依据，通过算法时间复杂度来估算算法时间效率。
算法时间复杂度
算法时间复杂度定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)＝O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。显然，由此算法时间复杂度的定义可知，我们的三个求和算法的时间复杂度分别为O(n)，O(1)，O(n*n)（注：n的平方的意思）。我们分别给它们取了非官方的名称，O(1)叫常数阶，O(n)叫线性阶，O(n*n)叫平方阶，当然还有其他的一些阶，后面再介绍。
推导大O阶方法
用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
这样得到的结果就是大O阶。
常数阶
首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，为什么时间复杂度不是O(3)，而是O(1)？
这个算法的运行次数函数是f(n)＝3。根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。另外，我们试想一下，如果这个算法当中的语句sum = (1+n)＊n/2有10句，会怎么样呢？事实上无论n为多少，两段代码就是3次和12次执行的差异。这种与问题的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。注意：不管这个常数是多少，我们都记作O(1)，而不是O(3)或O(12)等其他任何数字。
线性阶
线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码须要执行n次：
对数阶
下面的这段代码，时间复杂度又是多少呢？
由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2的x次方等于n得到x等于以2为底的n的对数。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)，注：n的对数的意思，编辑器表示不出来。
平方阶
下面例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。
而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n2)。注：2次方的意思，编辑器不好表示。
那么下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢？
由于当i=0时，内循环执行了n次，当i＝1时，执行了n－1次，......当i=n-1时，执行了1次。所以总的执行次数为：
用我们推导大O阶的方法，第一条，加法常数改为1；第二条，只保留最高阶项，因此保留n2/2；第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n2)。
常见的时间复杂度
最坏情况与平均情况
我们查找一个有n个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为O(1)，但也有可能这个数字就在最后一个位置上，那么算法的时间复杂度就是O(n)，就是最坏的一种情况了。
最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。
平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。也就是说，我们运行一段程序代码时，是希望看到平均运行时间的。可现实中，平均运行时间很难通过分析得到，一般都是通过运行一定数量的实验数据后估算出来的。
对算法的分析，一种方法是计算所有情况的平均值，这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度。另一种方法是计算最坏情况下的时间复杂度，这种方法称为最坏时间复杂度。一般在没有特定说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。
算法空间复杂度
我们在写代码时，完全可以用空间来换取时间，比如说，要判断某某年是不是闰年，你可能会花一点心思写一个算法，而且由于是一个算法，也就意味着，每次给一个年份，都是要通过计算得到是否是闰年的结果。还有另一个办法就是，事先建立一个有2050个元素的数组（年数略比现实多一点），然后把所有的年份按下标的数字对应，如果是闰年，此数组项的值就是1，如果不是值为0。这样，所谓的判断某一年是否是闰年，就变成了查找这个数组的某一项的值是多少的问题。此时，我们的运算是最小化了，但是硬盘上或者内存中需要存储这2050个0和1。
这是通过一笔空间上的开销来换取计算时间的小技巧。到底哪一个好，其实要看你用在什么地方。
算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n) = O(f(n))，其中，n为问题规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
一般情况下，一个程序在机器上执行时，除了需要存储程序本身的指令，常数，变量和输入数据外，还需要存储对数据操作的存储单元。若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，这样只需要分析该算法在实现时所需的输助单元即可。若算法执行时所需的辅助空间相对于输入数据量而言是个常数，则称此算法为原地工作，空间复杂度为O(1)。
通常，我们都使用“时间复杂度”来指运行时间的需求，使用“空间复杂度”指空间需求。当不用限定词地使用“复杂度”时，通常都是指时间复杂度。显然我们这系列重点要讲的还是算法的时间复杂度的问题。