基础算法学习-求组合数
求组合数可能不是在真正编程中经常用到的东西，不过ACM啊，纯数学运算以及HARD-CORE PROGRAMMING还是经常会碰到的。我们用
C(n,r)
来表示组合数，代表从n个不同小球里取出r个小球的取法。
计算组合数有几个办法，说说我知道的吧。
第一种根据公式而来。在数学中，
C(n,r) = n*(n-1)*(n-2)*...*(n-r+1)/r!
这是直接运算的公式，写成代码的话循环r次就可以得到分子分母，然后相除。这种方法的毛病就是求分子分母的数可能太大了，计算时浪费了很多内存。当然也可先除，再乘起来，不过如果恰好对应的两个数不能整除就麻烦了（在python有fraction模块不用担心浮点数的问题），只能约分HCF，然后用分数表示。总之这种办法在大数上不灵的，小的计算还是不错。
第二种是最常见的，Google一下很多人还是用这种方法来做，也就是用递归了，
C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)
在n==r或r==0返回1就行了。这种方法在处理大数方面也有很大问题，递归层数多了也是特别浪费内存的东西，如果我要计算C(2000,1000)可以看看需要多久。
第三种办法，也就是我刚刚学到的一种方法。其实之前在Project Euler中有类似的问题（76)用的近乎一致的解法，虽然当时我根本看不懂（现在也不太懂里面的数学部分），不过看过这种求组合数的办法后，好像有点感觉了。
这种办法是从第二种演变而来的。
下面以求C(5,2)为例，
C(0,0)-C(1,1)-C(2,2)
C(1,0)-C(2,1)-C(3,2)
C(2,0)-C(3,1)-C(4,2)
C(3,0)-C(4,1)-C(5,2)
在这个图中，每个位置上组合数的值都等于其左便组合数和其上方组合数值之和。根据这一点，只要第一排和第一列的值知道，就可以求出剩下所有的值。恰好他们都等等于1。
于是就有
#include <stdio.h>
/*
Compute C(n,r)
*/
unsigned long cnr(int,int);
int main(void)
{
printf("%d",cnr(2000,1000));
return 0;
}
unsigned long cnr(int n, int r)
{
unsigned long c[r+1];
int i,j;
for(i=0;i<=r;i++) c[r] = 1UL; /*Initialize*/
for(i=1;i<=n-r;i++)
for(j=1;j<=r;j++)
c[j]+=c[j-1];
return c[r];
}
在这个过程中，始终只用了c[r]这么大的一个数组，反复在其中进行运算，避免了递归浪费内存。其实这种想法在一些求Fibonacci数列的介绍中经常出现。只定义两个变量 unsigned long m, unsigned long n 反复对他们求和（m+=n; n+=m)，求得的值保存在m,n中这样就可以打印这个数列，而不是用递归的方式去做。
这种编程方法应该叫做动态编程(Dynamic Programming)吧(我是小白，其实印象在哪看过，所以猜测就是这个意思）。在求组合数的过程中，是纯加法实现，而且只要要求的数不是大到必须溢出，都可以求。
我自己也“照虎画猫”写了一个判断两个数是否互质的函数。一般大家都知道用Euclid公式，求余数，最后看最大公约数是否大于1可以判断（这也可以用DP来做，比其递归，我跟喜欢DP)，但是还有种不求最大公约数的办法。
#include <stdio.h>
#define TRUE 1
#define FALSE 0
int bprime(int, int);
int main(void)
{
int a=bprime(84,28);
int b=bprime(10,5);
printf ("%d %d\n",a,b);
}
int bprime(int a, int b)
{
if(a<b)
{
printf("the first number must be larger than the second.\n");
return 2;
}
int c;
while(b>0)
{
c=a-b;
c>=b ? a=c : (a=b,b=c);
if(b == 1) return TRUE;
}
return FALSE;
}
我的代码写的丑 T _ T. 里面的数学就不说了(没有一开始就判断两个是不是都是偶数，因为如果都是偶数请用眼睛判断），没用递归，也没求公约数，且减法实现，不过对错...我觉得是对的。（刚看了百度百科，这个方法应该就是里面说的更相减损法的变化版本，好吧，我弱爆了）
对于DP的学习我还要继续，如果有好心人愿意收留我，请告诉我一声。
Here is a good article talking about DP: http://hawstein.com/posts/dp-novice-to-advanced.html