学习算法之路

第一阶段:练经典常用算法,下面的每个算法给我打上十到二十遍,同时自己精简代码, 

因为太常用,所以要练到写时不用想,10-15 分钟内打完,甚至关掉显示器都可以把程序打 

出来. 

1.最短路(Floyd、Dijstra,BellmanFord) 

2. 最小生成树(先写个prim,kruscal要用并查集,不好写) 

3.大数(高精度)加减乘除 

4.二分查找. (代码可在五行以内) 

5.叉乘、判线段相交、然后写个凸包. 

6.BFS、DFS,同时熟练hash表(要熟,要灵活,代 码要简) 

7.数学上的有:辗转相除(两行内),线段交点、多角形面积公式. 

8. 调用系统的qsort, 技巧很多,慢慢掌握. 

9. 任意进制间的转换 

 

第二阶段:练习复杂一点,但也较常用的算法。 

如: 

1. 二分图匹配(匈牙利),最小路径覆盖 

2. 网络流,最小费用流。 

3. 线段树. 

4. 并查集。 

5. 熟悉动态规划的各个典型:LCS、最长递增子串、三角剖分、记忆化dp 

6.博弈类算法。博弈树,二进制法等。 

7.最大 团,最大独立集。 

8.判断点在多边形内。 

9. 差分约束系统. 

10. 双向广度搜索、A*算法,最小耗散优先. 

 

 

相关的知识 

 

图论 

 

  路 径问题 

        0/1边权最短路径 

        BFS 

        非负边权最短路径(Dijkstra) 

            可以用Dijkstra解决问题的特征 

        负边权最短路径 

        Bellman-Ford 

            Bellman-Ford的Yen-氏优化 

            差分约束系统 

        Floyd 

            广义路径问题 

            传递闭包 

            极小极大距离 / 极大极小距离 

        Euler Path / Tour 

            圈套圈算法 

            混合图的 Euler Path / Tour 

        Hamilton Path / Tour 

            特殊图的Hamilton Path / Tour 构造 

 

    生成树问题 

        最小生成树 

        第k小生成树 

        最优比率生成树 

        0/1分数规划 

        度限制生成树 

 

    连通性问题 

        强大的DFS算法 

        无向图连通性 

            割点 

            割边 

            二连通分支 

            有向图连通性 

            强连通分支 

            2-SAT 

            最小点基 

 

    有向无环图 

        拓扑排序 

            有向无环图与动态规划的关系 

 

    二分图匹配问题 

        一般图问题与二分图问题的转换思路 

        最大匹配 

            有向图的最小路径覆盖 

            0 / 1矩阵的最小覆盖 

        完备匹配 

        最优匹配 

        稳定婚姻 

 

    网络流问题 

        网络流模型的简单特征和与线性规划的关系 

        最大流最小割定理 

        最大流问题 

            有上下界的最大流问题 

                循环流 

        最小费用最大流 / 最大费用最大流 

 

    弦图的性质和判定 

 

 

组合数学 

 

    解决组合数学问题时常用的思想 

        逼近 

        递推 / 动态规划 

    概率问题 

        Polya定理 

 

 

计算几何 / 解析几何 

 

    计算几何的核心:叉积 / 面积 

    解析几何的主力:复数 

 

    基本形 

        点 

        直线,线段 

        多边形 

 

    凸多边形 / 凸包 

        凸包算法的引进,卷包裹法 

 

    Graham扫描法 

        水平序的引进,共线凸包的补丁 

 

    完美凸包算法 

 

    相关判定 

        两直线相交 

        两线段相交 

        点在任意多边形内的判定 

        点在凸多边形内的判定 

 

    经典问题 

        最小外接圆 

            近似O(n)的最小外接圆算法 

        点集直径 

            旋转卡壳,对踵点 

        多边形的三角剖分 

 

 

数学 / 数论 

 

  最大公约数 

        Euclid算法 

            扩展的Euclid算法 

                同余方程 / 二元一次不定方程 

                同余方程组 

 

    线性方程组 

        高斯消元法 

            解mod 2域上的线性方程组 

        整系数方程组的精确解法 

 

    矩阵 

        行列式的计算 

            利用矩阵乘法快速计算递推关系 

 

    分数 

        分数树 

        连分数逼近 

 

    数论计算 

        求N的约数个数 

        求phi(N) 

        求约数和 

        快速数论变换 

        …… 

 

    素数问题 

        概率判素算法 

        概率因子分解 

 

 

数 据结构 

 

    组织结构 

        二叉堆 

        左偏树 

        二项树 

        胜者树 

        跳跃表 

        样式图标 

        斜堆 

        reap 

 

    统计结构 

        树状数组 

        虚二叉树 

        线段树 

            矩形面积并 

            圆形面积并 

 

    关系结构 

        Hash表 

        并查集 

            路径压缩思想的应用 

 

    STL中的数据结构 

        vector 

        deque 

        set / map 

 

 

动 态规划 / 记忆化搜索 

 

  动态规划和记忆化搜索在思考方式上的区别 

 

    最长子序列系列问题 

        最长不下降子序列 

        最长公共子序列 

        最长公共不下降子序列 

 

    一类NP问题的动态规划解法 

 

    树型动态规划 

 

    背包问题 

 

    动态规划的优化 

        四边形不等式 

        函数的凸凹性 

        状态设计 

        规划方向 

 

 

线 性规划 

 

常用思想 

 

    二分          最小表示法 

 

串 

 

    KMP                              Trie结构 

    后缀树/后缀数组            LCA/RMQ 

    有限状态自动机理论 

 

排序 

    选择/冒泡        快速排序        堆排序            归并排序 

    基数排序        拓扑排序        排序网络 

 

 

中级: 

一.基本算法: 

    (1)C++的标准模版库的应用. (poj3096,poj3007) 

    (2)较为复杂的模拟题的训练(poj3393,poj1472,poj3371,poj1027,poj2706) 

二.图算法: 

    (1)差分约束系统的建立和求解. (poj1201,poj2983) 

    (2)最小费用最大流(poj2516,poj2516,poj2195) 

    (3)双连通分量(poj2942) 

    (4)强连通分支及其缩点.(poj2186) 

    (5)图的割边和割点(poj3352) 

    (6)最小割模型、网络流规约(poj3308, ) 

三.数据结构. 

    (1)线段树. (poj2528,poj2828,poj2777,poj2886,poj2750) 

    (2)静态二叉检索树. (poj2482,poj2352) 

    (3)树状树组(poj1195,poj3321) 

    (4)RMQ. (poj3264,poj3368) 

    (5)并查集的高级应用. (poj1703,2492) 

    (6)KMP算法. (poj1961,poj2406) 

四.搜索 

    (1)最优化剪枝和可行性剪枝 

    (2)搜索的技巧和优化 (poj3411,poj1724) 

    (3)记忆化搜索(poj3373,poj1691) 

 

五. 动态规划 

    (1)较为复杂的动态规划(如动态规划解特别的施行商问题等) 

        (poj1191,poj1054,poj3280,poj2029,poj2948,poj1925,poj3034) 

    (2)记录状态的动态规划. (POJ3254,poj2411,poj1185) 

    (3)树型动态规划(poj2057,poj1947,poj2486,poj3140) 

六.数学 

    (1)组合数学: 

        1.容斥原理. 

        2.抽屉原理. 

        3.置换群与Polya定理(poj1286,poj2409,poj3270,poj1026). 

        4.递推关系和母函数. 

 

    (2)数学. 

        1.高斯消元法(poj2947,poj1487, poj2065,poj1166,poj1222) 

        2.概率问题. (poj3071,poj3440) 

        3.GCD、扩展的欧几里德(中国剩余定理) (poj3101) 

    (3)计算方法. 

        1.0/1分数规划. (poj2976) 

        2.三分法求解单峰(单谷)的极值. 

        3.矩阵法(poj3150,poj3422,poj3070) 

        4.迭代逼近(poj3301) 

    (4)随机化算法(poj3318,poj2454) 

    (5)杂题. 

        (poj1870,poj3296,poj3286,poj1095) 

七.计算几何 学. 

        (1)坐标离散化. 

        (2)扫描线算法(例如求矩形的面积和周长并,常和线段树或堆一起使用). 

            (poj1765,poj1177,poj1151,poj3277,poj2280,poj3004) 

        (3)多边形的内核(半平面交)(poj3130,poj3335) 

        (4)几何工具的综合应用.(poj1819,poj1066,poj2043,poj3227,poj2165,poj3429) 

 

 

高 级: 

一.基本算法要求:  

      (1)代码快速写成,精简但不失风格  

          (poj2525,poj1684,poj1421,poj1048,poj2050,poj3306) 

      (2)保证正确性和高效性. poj3434 

二.图算法: 

      (1)度限制最小生成树和第K最短路. (poj1639) 

      (2)最短路,最小生成树,二分图,最大流问题的相关理论(主要是模型建立和求解) 

        (poj3155, poj2112,poj1966,poj3281,poj1087,poj2289,poj3216,poj2446 

      (3)最优比率生成树. (poj2728) 

      (4)最小树形图(poj3164) 

      (5)次小生成树. 

      (6)无向图、有向图的最小环    

三.数据结构.  

      (1)trie图的建立和应用. (poj2778) 

      (2)LCA和RMQ问题(LCA(最近公共祖先问题) 有离线算法(并查集+dfs) 和 在线算法 

          (RMQ+dfs)).(poj1330) 

      (3)双端队列和它的应用(维护一个单调的队列,常常在动态规划中起到优化状态转移的 

          目的). (poj2823) 

      (4)左偏树(可合并堆).  

      (5)后缀树(非常有用的数据结构,也是赛区考题的热点). 

        (poj3415,poj3294) 

四. 搜索  

      (1)较麻烦的搜索题目训练(poj1069,poj3322,poj1475,poj1924,poj2049,poj3426) 

      (2)广搜的状态优化:利用M进制数存储状态、转化为串用hash表判重、按位压缩存储状态、双向广搜、A*算法. (poj1768,poj1184,poj1872,poj1324,poj2046,poj1482) 

      (3)深搜的优化:尽量用位运算、一定要加剪枝、函数参数尽可能少、层数不易过大、可以考虑双向搜索或者是轮换搜索、IDA*算法. (poj3131,poj2870,poj2286) 

五.动态规划  

      (1)需要用数据结构优化的动态规划. 

        (poj2754,poj3378,poj3017) 

      (2)四边形不等式理论. 

      (3)较难的状态DP(poj3133) 

六.数学  

      (1)组合数学. 

        1.MoBius反演(poj2888,poj2154) 

        2.偏序关系理论. 

      (2)博奕论. 

        1.极大极小过程(poj3317,poj1085) 

        2.Nim问题. 

七.计算几何学.  

      (1)半平面求交(poj3384,poj2540) 

      (2)可视图的建立(poj2966) 

      (3)点集最小圆覆盖. 

      (4)对踵点(poj2079) 

      八.综合题. 

      (poj3109,poj1478,poj1462,poj2729,poj2048,poj3336,poj3315,poj2148,poj1263) 

 

初 期: 

一.基本算法: 

    (1)枚举. (poj1753,poj2965) (2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586) 

    (3)递归和分治法.                  (4)递推. 

    (5)构造法.(poj3295)            (6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996) 

二.图算法: 

    (1)图的深度优先遍历和广度优先遍历. 

    (2)最短路径算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra) 

        (poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,poj2240) 

    (3)最小生成树算法(prim,kruskal) 

        (poj1789,poj2485,poj1258,poj3026) 

    (4)拓扑排序 (poj1094) 

    (5)二分图的最大匹配 (匈牙利算法) (poj3041,poj3020) 

    (6)最大流的增广路算法(KM算法). (poj1459,poj3436) 

三.数据结构. 

    (1)串 (poj1035,poj3080,poj1936) 

    (2)排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排) (poj2388,poj2299) 

    (3)简单并查集的应用. 

    (4)哈希表和二分查找等高效查找法(数的Hash,串的Hash)    

        (poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,poj2503) 

    (5)哈夫曼树(poj3253) 

    (6)堆 

    (7)trie树(静态建树、动态建树) (poj2513) 

四.简单搜索 

    (1)深度优先搜索 (poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251) 

    (2)广度优先搜索(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414) 

    (3)简单搜索技巧和剪枝(poj2531,poj1416,poj2676,1129) 

五.动态规划 

    (1)背包问题. (poj1837,poj1276) 

    (2)型如下表的简单DP(可参考lrj的书 page149): 

      1.E[j]=opt{D+w(i,j)} (poj3267,poj1836,poj1260,poj2533) 

      2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最长公共子序列)    

        (poj3176,poj1080,poj1159) 

      3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最优二分检索树问题) 

六.数学 

    (1)组合数学: 

        1.加法原理和乘法原理. 

        2.排列组合. 

        3.递推关系. 

          (POJ3252,poj1850,poj1019,poj1942) 

    (2)数论. 

        1.素数与整除问题 

        2.进制位. 

        3.同余模运算. 

          (poj2635, poj3292,poj1845,poj2115) 

    (3)计算方法. 

        1.二分法求解单调函数相关知识.(poj3273,poj3258,poj1905,poj3122) 

七.计算几何学. 

    (1)几何公式. 

    (2)叉积和点积的运用(如线段相交的判定,点到线段的距离等). (poj2031,poj1039) 

    (3)多边型的简单算法(求面积)和相关判定(点在多边型内,多边型是否相交) 

        (poj1408,poj1584) 

    (4)凸包. (poj2187,poj1113)

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